Лабораторная работа № 1. Абсолютная и относительная погрешности

Задание 1. Пользуясь мастером функций f_x, вспомнить основные функции Excel и особенности их вычисления. Протабулировать функции

на отрезке [–3; 3] с шагом h = 1, построить графики данных функций.

Рис. 1.1. Значения и графики функций на отрезке [–3; 3]

При выполнении задания 1 вводится только левый конец отрезка – значение
x = –3 (ячейка B2), затем в ячейки C2, B3, B4 записываются соответствующие формулы и распространяются вправо. Значения функций y1, y2 выведены с тремя знаками после запятой (Формат/Ячейки/Число).

При построении графика выбирается тип диаграммы «точечный», затем готовый график редактируется по образцу (см. рис. 1.1) с помощью команд: Формат оси (установить по оси Ox min =–3, max =3, цену основных делений=1), Формат области построения, Параметры диаграммы.

Теоретическая справка. Пусть X – точное значение, x – приближенное значение некоторого числа.

Абсолютная погрешность приближенного числа равна модулю разности между его точным и приближенным значениями:

D x = | Х – x |.

Однако точное значение X зачастую неизвестно, поэтому вместо абсолютной погрешности используют понятие границы абсолютной погрешности:

| Х – x | £ D x ^*.

Число D x ^* заведомо равно или превышает значение абсолютной погрешности D x и называется предельной абсолютной погрешностью. Часто применяется запись:
X = x ± D x ^*.

Следует отметить, что абсолютная погрешность не полностью характеризует результат. Например, абсолютная погрешность в 1 мм никчемна при оценке расстояния от Москвы до Рио-де-Жанейро и абсурдна при поиске расстояний между молекулами твердого вещества. Поэтому основной характеристикой точности является относительная погрешность.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа:

Относительная погрешность иногда измеряется в процентах, тогда

Действия над приближенными числами. Результат действий над приближенными числами представляет собой также приближенное число. Погрешность результата может быть выражена через погрешности первоначальных данных по нижеследующим правилам.

1. При сложении или вычитании чисел их абсолютные погрешности складываются:

D(a ± b) = D a + D b.

2. Относительная погрешность разности или суммы двух чисел вычисляется по формулам:

3. При умножении или делении чисел друг на друга их относительные погрешности складываются:

4. При возведении в степень приближенного числа его относительная погрешность умножается на показатель степени:

Погрешность функции. Общая формула для оценки предельной абсолютной погрешности функции нескольких переменных u = f (x ₁, x ₂, …, x_n) имеет вид:

где – предельная абсолютная погрешность числа x_i (i = 1, 2,..., n).