Методом сеток

I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков решения уравнений параболического типа методом сеток.

II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Требуется найти решение уравнения

(1)

в области , удовлетворяющее условиям

(2)

Разобьём область прямыми

;

где - шаг по оси ; -шаг по оси .

Обозначим через .

Заменив в каждом внутреннем узле производные конечно-разностными отношениями по явной схеме, получим систему вида

, (3)

Преобразовав её, будем иметь

, (4)

где ; ; .

В граничных узлах

; (5)

,

В начальный момент времени

(6)

Эта разностная схема устойчива при любом .

Будем решать систему уравнений (4), (5), (6) методом прогонки.

Для этого положим

, (7)

где пока неизвестные коэффициенты.

Тогда

. (8)

Подставив значение (7) в (4), получим

Откуда

(9)

Из сравнения (7) и (9) видно, что

, (10)

() (11)

Для из (4) имеем

Откуда

или

Сравнивая (7) при с последним выражением, получим

(12)

(13)

Таким образом, сначала проводим прямой ход, вычисляя коэффициенты и по формулам (12), (13) и (10), (11). Затем осуществляем обратный ход по формуле (7). Последовательно находим

^{………………………………………………..}

III. ЗАДАНИЕ

Методом сеток (с использованием метода прогонки) найти приближенное решение уравнения

в области , удовлетворяющее условиям

взяв

Варианты заданий

№ вари-анта