Многочлен Эрмита.

Существует несколько обобщений многочлена Лагранжа, в том числе и многочлен Эрмита, при построении которого требуется, чтобы в узлах x_i совпадали с табличными данными не только значения функции f, но и их производные - f', f'', …, f^(Ni-1) – до некоторого порядка N_i.

Необходимо построить полином степени в котором N_i - кратность узла і. Полином существует и единственный

Всего будет N₀ + N₁ + … + N_n уравнений. Количество уравнений равно количеству коэффициентов.

Рассмотрим полином степени m, производные которого H_m^(j)(x_i) = 0, j = 0, 1, …, N_i-1. Это значит, что x_i - корень кратности N_i-1.

Тогда на [a; b] существует N₀ + N₁ + … + N_n = m+1 корней, но т.к. степень его m, то при всех x H_m(x) = 0.

Будем искать H_m(x) в виде H_m(x) = L_n(x) + w_n(x) H_m-n(x),

где L_n(x_i) = y_i, w_n(x_i) = 0, i = 0, 1, …, n.

Производная:

H'_m(x) = L'_n(x) + w'_n(x) H_m-n(x) + w_n(x) H'_m-n(x),

причем H'_m(x_i) = L'_n(x_i) + w'_n(x) H_m-n(x_i).

В тех точках, где задано f'(x_i), найдем

Дальше находят вторую производную:

H''_m(x) = L''_n(x) + w''_n(x) H_m-n(x) + 2 w'_n(x) H'_m-n(x) + w_n(x) H''_m-n(x),

причем H''_m(x_i) = L''_n(x_i) + w''_n(x_i) H_m-n(x_i) + 2 w'_n(x_i) H'_m-n(x_i),

Откуда выражают H'_m-n(x_i), потому что другие величины известны, и т. д..