Интерполяционный многочлен Ньютона.

Пусть -произвольные узлы, которые не совпадают и в которых известные значения функции .

Алгебраический многочлен -го степени

(7)

является интерполяционным, то есть

Многочлен (7) называется интерполяционным многочленом Ньютона для неравных промежутков. Он тождественно совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа, то есть Таким образом мы имеем разные записи интерполяционного многочлена.

Интерполяционный многочлен Ньютона (7) содержит не значение функции , а ее разделенные разности. При изменении степени у интерполяционного многочлена Ньютона надо добавить или отвергнуть соответствующее количество стандартных слагаемых. Это удобно на практике.

Случай равноудаленных узлов. Пусть Тогда, учитывая связь разделенной разности с конечной разностью и вводя безразмерную переменную интерполяционный многочлен (7) можно переписать в виде

(8)

Этот многочлен называется интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед.

В нем начало отсчета находится в крайнем узле , а использованные конечные разности идут в таблице разностей от вправо вниз. Интерполяционный многочлен (8) удобно использовать в начале таблицы.

Интерполяционный многочлен с узлами , где , имеет вид

(9)

и называется интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции назад.

В нем начало отсчета расположено в крайнем правом узле , а использованные конечные разности идут в таблице от вправо вверх.

Таблица 3

Интерполяционный многочлен (9) удобно использовать при интерполяции в конце таблицы.

Если при заданном в таблице значений функции с шагом имеем достаточное количество узлов из каждой стороны от , то целесообразно узлы интерполяции выбирать так, чтобы точка оказалась как можно более близкое к середине минимального отрезка, который содержит узлы. При этом интерполяционный многочлен можно строить по-разному.

Наиболее удобно задать интерполяционный многочлен в виде (7), где за берется ближайший к узел, дальше за принимается ближайший к узел, который располагается с противоположной от стороны, чем . Следующие узлы назначаются поочередно с разных сторон от , которые располагаются возможно более близкое к . При током выборе узлов слагаемые, которые следуют один за одним в выражении (7), как правило, совпадают, если маленькое, а небольшое.