Кусочная интерполяция.

На практике чаще используется кусочно-полиномиальная интерполяция, то есть исходный отрезок разбивается на части и на каждом отрезке малой длины исходная функция заменяется многочленом невысокой степени.

Линейная интерполяция - простейший вид полиномиальной интерполяции. Она заключается в замене f(x) линейной функцией на основе значений f(x) в 2-х точках. Во многих случаях его вполне достаточно для вычисления значений табличных функций, особенно математических, в частности легко решается часто встречающаяся задача обратного интерполирования (поиск аналитического приближения функции, обратной для данной табличной функции).

Пусть y₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), тогда линейная интерполяция задается уравнением:

.

Линейная интерполяция носит локальный характер и используется для нахождения значений f(x) на отрезке [x_i-1, x_i], где i = 1, 2,..., n.

В результате применения метода линейной интерполяции к узлам таблично заданной функции получаем систему линейных уравнений.

Говорят, что таблица допускает линейную интерполяцию, если на каждом отрезке [x_k, x_k+1] погрешность вычислений с ее помощью не превосходит погрешности значений таблицы.

Пример: Пусть заданы значения x₀= -1.2, x ₁ =-0.8,  x ₂= 0.5, x ₃ = 1.5 и y₀= -2.3, y ₁ =1.4,   y ₂= 1.7, y ₃ = 0.6. Определить значение неизвестной функции для х =1.

Искомая точка находится на отрезке [x₂, x₃]

Квадратичная интерполяция проводит через узловые точки уравнение параболы:

Здесь коэффициенты , и разные на каждом интервале , . Определяются решением системы уравнений.