Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий А и В называют событие С или АВ
(рис. 1.3), состоящее в совместном проявлении (совмещении этих собы­тий). Тогда

Р (АВ) = Р (А) × Р (В). (1.11)

Использование теоремы умножения вероятностей позволяет рассмат­ривать несущую способность конструкций, которая, с одной стороны, оп­ределяется случайными величинами прочностных характеристик мате­риала конструкции, с другой – случайными величинами нагрузок. Очевид­но, вероятность разрушения конструкции связана с наличием минималь­ных величин прочности материала и максимальных величин нагрузок.

Рис. 1.3. Произведение двух событий

Пример. Если предположить, что прочностные свойства в 10 % слу­чаев (вероятность события (А)составляет Р (А) = 0, 1) меньше необхо­димого минимума прочности, а нагрузки в 20 % случаев (вероятность события В составляет Р (В) = 0, 2) могут превысить предусмотренные расчетом, то совместное выполнение этих двух независимых событий определяется произведением их вероятностей, т.е.

Р (АВ) = 0, 1 · 0, 2 = 0, 02.

Выполнение события А и события В одновременно приведет к тому, что конструкция или вследствие низкой прочности, или из-за превыше­ния расчетных нагрузок может быть разрушена, и вероятность её раз­рушения составит 0, 02 или 2 %.

Но тогда вероятность неразрушения конструкции

1 – Р (А · В)= 1 – 0, 2 = 0, 98 или 98 %.

Вероятность обычно или назначают исходя из условий безопасности, или определяют при длительных наблюдениях.

Например, при расчете диаметра водопропускной трубы под насы­пью учитывают максимальный дождевой поток повторяемостью 1 раз в 50 лет. То есть вероятность появления максимального дождевого потока

P (A) = = = 0, 02.

При расчете отверстия моста учитывают повторяемость максималь­ного паводка 1 раз в 300 лет. В этом случае вероятность появления мак­симального паводка Р (А) = 0, 0033, а вероятность противоположного события Р () = 1 – Р (А) = 0, 9967, т.е. величина паводка не превысит расчетного значения.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется событием?

2. Какими могут быть события?

3. Дать определение частоты события или статистическая вероятность.

4. Какие события называют совместными и несовместными?

5. Какие события называют равновозможными?

6. В каких пределах изменяется вероятность случайного события?

7. Чему равна сумма независимых и несовместных событий?

8. Как оценить неоднородность прочности бетонных конструкций?

9. Чему равно произведение двух событий А и В?

10. Какое событие называют противоположным?

& Рекомендуемая литература [2, 7, 9, 10, 12].