Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой А + В двух событий А и В называют событие С, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Тогда

Р (А + В)= Р (А)= Р (В). (1.6)

Этим можно воспользоваться, например, в случае определения не­однородности прочности изделий из бетона, которая характеризует ка­чество изделий. Неоднородность в основном зависит от двух независи­мых событий. Первое событие – это неоднородность бетона, зависящая

от его состава, дозировки и перемешивания. Её выявляют при испыта­нии кубиков. Второе событие – это неоднородность бетона в изделиях, вызванная неоднородностью уплотнения и условиями твердения. Ее оп­ределяют только неразрушающими методами.

Эти два события независимы друг от друга (рис. 1.1), и общие выво­ды о неоднородности прочности бетона в изделиях могут быть получены с использованием теоремы сложения вероятностей

Р (А +В) = Р (А) + Р (В). (1.7)

В случае, когда события совместны, графически сложение вероятно­стей можно представить рис. 1.2.

Рис. 1.1. Независимые и несовместные события

Рис. 1.2. Независимые и совместные события

В случае сложения двух событий (рис. 1.2, а) формула примет вид

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ)(1.8)

и в случае сложения трех событий (рис. 1.2, б) –

Р (А + В + С) = Р (А) + Р (В) + Р (С) – Р (АВС). (1.9)

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных собы­тий обозначено А, то другое принято обозначать

Р (А) + Р (1) = 1. (1.10)

При рассмотрении несущей способности конструкции вероятность то­го, что конструкция не будет разрушена, определяют с использованием теоремы сложения вероятностей. Сумма вероятностей двух противопо­ложных событий (события разрушения конструкции и события неразрушения конструкции) всегда равна единице.

При решении многих практических задач приходится иметь дело с событиями, вероятность которых весьма мала, т.е. близка к нулю. Мож­но ли считать, что маловероятное событие А вединичном испытании не произойдет? Такой вывод сделать нельзя, так как не исключено, хотя и маловероятно, что событие А наступит. Однако длительный опыт пока­зывает, что маловероятное событие в единичном испытании в подав­ляющем большинстве случаев не наступает. На основании этого при­знается принцип практической невозможности маловероятных событий: если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практиче­ски можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.

Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимо­сти, заключенные между 0, 01 и 0, 05.