Короткі теоретичні відомості. Площа поверхні, що утворюється при обертанні навколо вісі Ох кривої y=f(x), а≤х≤b, f(x)≥0

Площа поверхні, що утворюється при обертанні навколо вісі Ох кривої y=f(x), а≤ х≤ b, f(x)≥ 0, обчислюється за формулою

(1)

де функції і ` неперервні на відрізку [a; b].

Якщо криву АВ задано параметрично рівняннями , де функції неперервні на [α, β ], то

, (2)

причому значення α параметра t відповідає точці А, а значення β -точці В.

Типові задачі

1. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням навколо вісі Ох однієї арки циклоїди .

За формулою (2) дістаємо

2. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням навколо вісі дуги кубічної параболи y=x³, обмеженої точками О(0; 0) та А(.

Знаходимо . За формулою (1) маємо

Питання для контролю вивченого матеріалу

1. Як обчислити площу поверхні, утвореної обертанням навколо вісі Ох кривої ?

2. За якою формулою обчислюється поверхня, якщо криву задано параметрично?

3. Обчислити площі поверхонь, утворених обертанням навколо вісі Ох таких кривих:

· параболи y²=x+2 від вершини до точки з абсцисою х=0, y³ 0;

· дуги синусоїди від х=0 до х=1;

· дуги астроїди х=cos³ t, y=sin³ t, .