Короткі теоретичні відомості. Функція вигляду F(x)= P(x)/Q(X), де P(x) і Q(x) - многочлени називається дробово – раціональною, або раціональним дробом

Функція вигляду F(x)= P(x)/Q(X), де P(x) і Q(x) - многочлени називається дробово – раціональною, або раціональним дробом. Дріб правильний, якщо степінь многочлена P(x) нижчий за степінь Q(x). Якщо дріб неправильний, з нього виділяють цілу частину (многочлен), ділячи чисельник на знаменник: .

Правильний дріб можна подати у вигляді суми скінченого числа елементарних дробів типу:

I) ; II) ; III) ; IV) , де n> 1 – натуральне число, .

Інтеграли від елементарних дробів обчислюємо за формулами:

I. . (1)

II. . (2)

III. Якщо чисельник дробу пропорційний похідній знаменника, то інтеграл обчислюють за формулою . (3)

В іншому разі чисельник розкладають на суму двох доданків, один з яких пропорційний похідній тричлена, а другий – сталій. Тоді інтеграл записуємо у вигляді суми двох інтегралів, перший з яких обчислюємо за формулою (3), а другий зводимо до інтеграла , виділенням повного квадрата з тричлена.

IV. Інтеграл від цього дробу зводиться до двох інтегралів, перший з яких табличний типу , а другий . Останній шляхом (n-1)- кратного інтегрування зводиться до табличного за допомогою рекурентної формули (4)

Отже, інтегрування кожного раціонального дробу можна звести до інтегрування суми елементарних дробів за таким правилом:

1. Якщо дріб неправильний то, виділивши цілу частину, записати його у вигляді .

2. Розкласти знаменник .

3. Зобразити дріб у вигляді суми елементарних дробів ,

де А₁,..., A_k, …, B₁, C₁, …, B₂, C₂, …- деякі сталі, k, …, , …-натуральні числа, більші за одиницю, причому .

4. Обчислити невизначені коефіцієнти А₁,..., С_{l .} Для цього потрібно звести останню рівність до спільного знаменника, і прирівняти чисельники в обох частинах рівності. Невідомі коефіцієнти можна обчислити двома способами: а) прирівнюванням коефіцієнтів при однакових степенях в обох частинах рівності; б) наданням змінній конкретних значень. Часто застосовують комбінацію цих способів; залишається розв’язати систему лінійних рівнянь з невідомими A₁,...

5. Обчислити заданий інтеграл, використовуючи схему розкладу і значення невідомих коефіцієнтів.

Приклад. Обчислити інтеграл .

Виділимо частину підінтегрального дробу .

Розкладемо знаменник на множники:

x³-x=x(x-1)(x+1). Зобразимо дріб у вигляді суми елементарних дробів .

Останню рівність зведемо до спільного знаменника і прирівняємо чисельники: .

Оскільки числа 0, 1, -1 є коренями знаменника, то коефіцієнти А, В, С зручно обчислити підставляючи саме ці значення в останню рівність. При х=0 дістаємо тобто А=-1; при х=1 маємо 3=2В, тобто В=3/2; при х = -1 дістаємо 3=2С, C=3/2.

Обчислюємо заданий інтеграл, враховуючизначення заданих коефіцієнтів і попередній розклад: .

Питання для контролю вивченого матеріалу

1. Яка функція називається дробово раціональною?

2. Які типи елементарних дробів ви знаєте?

3. За якими формулами обчислюється інтеграл від елементарних дробів?

4. До якого правила можна звести інтегрування кожного раціонального дробу?

5. Обчислити інтеграл .