Особливості розрахунку складних кіл операторним методом.

1. Нульові початкові умови.

Залежність між збудженням та реакцією кола (струм у вітці, або напруга на ділянці кола) в загальному випадку описується диференціальним рівнянням

Застосуємо інтегральне перетворення Лапласа до лівої та правої частин, і врахуємо нульові початкові умови. Оскільки в результаті інтегрального перетворення Лапласа ,

то диференціальне рівняння переходить в алгебраїчне співвідношення

.

Звідки операторний коефіцієнт передачі

.

Саме такий прийом застосування операторного методу і був впроваджений для полегшення знаходження розв’язку диференціальних рівнянь.

При запропонованому підході приємно мати справу з готовим диференціальним рівнянням. Проте, як показує практика, саме значні складнощі виникають при побудові диференціального рівняння для складного електричного кола.

Тому при дослідженні перехідних процесів операторним методом рекомендують інший підхід, а саме - від звичайного кола переходять до операторного за правилами:

Звичайне коло	Операторне коло
Резистор з опором	Резистор з опором
Індуктивна котушка з індуктивністю	Резистор з опором
Конденсатор з ємністю	Резистор з опором
Джерело енергії	Зображення джерела енергії

Перехід від оригіналів до зображень для джерел електромагнітної енергії здійснюється за допомогою прямого перетворення Лапласа. Наприклад, якщо в мить часу до кола підключається джерело постійної ЕРС , то , а .

Звідки виникли такі правила? Застосовуючи інтегральне перетворення Лапласа до компонентних рівнянь при нульових початкових умовах отримаємо алгебраїчні співвідношення між зображеннями, яким можна надати форму закону Ома притаманну резисторам (закон Ома в операторній формі), а коефіцієнти пропорційності і будуть відігравати роль операторного опору (задача синтезу в операторній формі).

Ненульові початкові умови. Якщо до комутації струми індуктивних котушок та напруги на конденсаторах мали певне значення, то перехід від звичайного кола до операторного здійснюється за дещо іншими правилами. Резистор звичайного кола замінюють на резистор операторного кола опір резистора при цьому не змінюється. Компонентне рівняння для індуктивної котушки в звичайному колі . Нехай , тоді компонентне рівняння для індуктивної котушки в операторному колі буде мати вигляд

.

На основі даного рівняння синтезуємо операторну схему яка і буде еквівалентом індуктивної котушки в операторному колі. Рівняння () відображає другий закон Кірхгофа для кола, що складається із послідовно увімкнених резистора з опором та джерела ЕРС у якого , причому напрямок ЕРС джерела співпадає з вибраним напрямком струму.

Для конденсатора - . Звідки . Неважко впізнати, що дане рівняння відображає узагальнений закон Ома для кола, що складається із послідовно увімкнених резистора з опором та джерела ЕРС з . причому напрямок ЕРС протилежний вказаному напрямку струму. Таке коло і буде еквівалентом конденсатора в операторному колі. Отже перехід від звичайного кола до операторного при не нульових початкових умовах здійснюється за такими правилами:

Із лінійності законів Кірхгофа випливає, що для зображень струмів, напруг та ЕРС мають місце аналогічні закони Кірхгофа в операторній формі

.

Проте закони Кірхгофа в операторній формі мають алгебраїчну форму, і початкові умови вже присутні в самих рівняннях. Скориставшись методом рівнянь Кірхгофа можемо знайти зображення реальних струмів в операторому колі. При цьому, оскільки перетворення лінійні, то для вирішення задачі аналізу в операторному колі можна користуватися принципом суперпозиції, а отже і методом контурних струмів, методом вузлових потенціалів, методом еквівалентного генератора, методом еквівалентних перетворень.