Метод парабол (формула Симпсона)

Этот метод более точный по сравнению с методами прямоугольников и трапеций. В основе формулы Симпсона лежит квадратичная интерполяция подынтегральной функции на отрезке [a, b] по трем равноотстоящим узлам.

Разобьем интервал интегрирования [a, b] на четное число n равных отрезков с шагом h.

Примем: x ₀= a, x ₁= x ₀+ h,..., x_n = x ₀+ nh = b.

Значения функций в точках обозначим соответственно:

y ₀= f (a); y ₁= f (x ₁); y ₂= f (x ₂);...; y_n = f (b).

На каждом отрезке [ x_i-1, x_i+1 ] подынтегральную функцию f (x) заменим интерполяционным многочленом второй степени (рис.7).

, где .

Рис. 7. Метод Симпсона

Элементарная площадь si может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая, что x_i - x_i-1 = x_i+1 - x_i = h и, проведя вычисления, получим для каждого элементарного участка:

.

После суммирования интегралов по всем отрезкам, получим формулу Симпсона:

или

..(6)

Блок - схема алгоритма метода трапеций приведена на рис.6.

Рис.8. Блок-схема метода Симпсона