Формула Симпсона. От квадратурной формулы следует ожидать большей точности, если для приближения подынтегральной функции использовать кусочно-квадратичную

От квадратурной формулы следует ожидать большей точности, если для приближения подынтегральной функции использовать кусочно-квадратичную, т.е. нелинейную интерполяцию по трем точкам. В таком случае на этом участке истинная функция заменяется также криволинейной, но легко интегрируемой функцией. Последняя безусловно будет более близкой к истинной по сравнению, например, с линейной функцией, а соответственно и интегрирование выполняется с меньшей ошибкой.

Разобьем отрезок на правных участков точками с длиной , но теперь число пнадо выбирать обязательно четным. Обозначим . Тогда можно рассматривать “сдвоенные” отрезки ; ; …; как отрезки с тремя известными узлами, на каждом из которых можно получить интерполяционный многочлен Ньютона второй степени. Для он имеет вид: .

Таблица 23 - Таблица конечных разностей для двух участков

Введем новую переменную .

Тогда можно записать ; . Так как ,

то при ; .

В результате получим следующую редакцию многочлена Ньютона для участка : .

На этом участке можем вычислить определенный интеграл: ,

или, заменяя переменную: .

В результате простых вычислений получим: .

Получили так называемую малую формулу Симпсона, предназначенную для приближенного интегрирования функции путем ее замены функцией параболы . Она вполне приемлема, если первичная функция достаточно пологая.

Процедура кусочно-квадратической интерполяции может быть продолжена на последующие участки, но от этого структура формулы Симпсона не изменится. Многократное ее применение даст следующую последовательность:

для участка : ;

для участка : ;

……………………………………………………

для участка : ;

для участка : ;

где .

Определенный интеграл от функции на участке заменяется приближенным интегралом:

, или ,

где - сумма крайних ординат;

- сумма четных ординат;

- сумма нечетных ординат.

Получили полную квадратичную формулу Симпсона. Погрешность вычисления по этой формуле можно рассчитать по выражению:

, где .

Формула Симпсона выглядит более громоздкой по сравнению с формулами прямоугольников и трапеций, но она значительно точнее их и может привести к требуемому результату при меньших п.