Конечно-разностные аппроксимации производных.

Пусть отрезок [ a, b ] разбит на n, n ³ 2 равных частей точками x_i, Разность между соседними значениями аргумента постоянна, то есть шаг Пусть на отрезке [ a, b ] определена функция y=f (x), значения которой в точках x_i равны y_i=f (x_i), i= 0, 1, …, n.

Запишем выражения для первой производной функции в точке x _i с помощью отношения конечных разностей:

a) аппроксимация с помощью разностей вперёд (правых разностей) i =0, 1, … n -1.

b) аппроксимация с помощью разностей назад (левых разностей)

c) аппроксимация с помощью центральных разностей (точка x_i является центром системы точек x_{i- 1}, x_i,, x_{i +1}).

i= 1, …, n -1.

Замечание 1. Аппроксимация производной с помощью центральных разностей представляет собой среднее арифметическое производных с помощью левых и правых разностей в точках x_i, ,

Замечание 2. Соотношения (a) и (c) не позволяют вычислить производную в точке x_n=b, а (b) и (c) - в точке x ₀= a.

Теорема. для функции y=f (x), имеющей непрерывную производную до второго порядка включительно, погрешность аппроксимации производных разностями вперёд и назад имеет один и тот же порядок 0(h), а погрешность аппроксимации центральными разностями для функции y=f (x), имеющей непре­рывную производную до третьего порядка включительно, имеет порядок 0(h ²).

Доказательство:

Приближённое значение производной второго порядка в точке x_i выразим через значение функции y_{i- 1}, y_i, y_{i+ 1}. Для этого представим вторую производную с помощью правой разности:

а производные первого порядка y'_{i+ 1} и - c помощью левых разностей:

и окончательно получим (1).

Погрешность последней аппроксимации имеет порядок 0(h ²) для функции y=f (x), имеющей непрерывную производную до четвёртого порядка включительно на отрезке [ a, b ]. Естественно, представление (1) с помощью конечных разностей позволяет вычислить значения второй производной только во внутренних точках отрезка.