Разностные формулы для частных производных

Разностные формулы для частных производных аналогичны формулам (5.1) — (5.3), (5.10).

Пусть функция двух переменных определена в прямоугольной области a ₁ ≤ x ≤ b ₁, a ₂ ≤ y ≤ b ₂.

Определение 5.4. Назовем сеточной областью множество точек (x_i, y_j), где

x_i = a ₁ + ih ₁, i = 0, 1, …, n ₁; h ₁ = (b ₁ – a ₁)/ n ₁,

y_j = a ₂ + jh ₂, j = 0, 1, …, n ₂; h ₂ = (b ₂ – a ₂)/ n ₂.

На рис. 5.3 изображена сеточная область для n ₁ = 5, n ₂ = 4. Эта сеточная область состоит из 30 точек.

Рис. 5.3

Введем обозначение u_{i , j} = f (x_i, y_j).

Тогда для частных производных первого и второго порядка по переменной x можно записать разностные формулы (5.1) — (5.3) и (5.10):

. (5.12)

. (5.13)

. (5.14)

. (5.15)

Аналогичные разностные формулы можно записать и для частных производных первого и второго порядка по переменной y:

. (5.16)

. (5.17)

. (5.18)

. (5.19)

Запишем разностные формулы для смешанных производных:

(5.20)

(5.21)

(5.22)

Пример 5.3. Вычислить приближенно частную производную функции по её табличным значениям в сеточной области (x_i, y_j), где x_i = 0, 1∙ i, i = 0, 1, …, 10; y_j = 0, 2∙ j, j = 0, 1, …, 10. Сравнить полученные приближенные значения производных с точными значениями.

Решение в Excel. Таблица значений функции приведена в таблице 5.4.

Табл.5.4

Табл.5.5

Таблица разностной приближенных значений производной,

вычисленных по формуле (5.22)

Табл.5.6

Таблица производной

Вычислим относительную погрешность в точке (x, y) = (0, 5; 1):