Жылдамдықтарды қосу туралы теорема

М нү ктесінің негізгі Охуг санақ жү йесіне қ арағ андағ ы кү рделі қ озғ алысын зерттейік (13.1-сурет). Бұ л нү кте қ озғ алмалы O'х'у'і' санак, жү йесіне қ арағ анда салыстырмалы қ озғ алыста болсын. Ал O'х'у'z' санакжү йесінің М нү ктесімен бірге қ озғ алмайтын Охуг санақ жү йесін қ озғ алысы тасымал қ озғ алыс деп келісілген болатын. М нү ктесінің қ озғ алмалы O'х'y’z’ санақ жү йесіндегі орны р радиус-векторымен, ал негізгі Охуг санақ жү йесіндегі орны r_м радиус-векторымен анық галады. Нү ктенің кү рделі қ озғ алысында r_м жә не р радиус-векторлары уақ ытқ а тә уелді функциялар болады.

Тасымал қ озғ алыста қ озғ алмалы санақ жү йесінің бас нү ктесі орнын анық тайтын r_o - радиус-векторы жә не қ озғ алмалы координаттар

жү йесінің бірлік орттарының бағ ыттары да уақ ытқ а тә уелді ө згеріп отырады.

M нү ктесінің абсолютті қ озғ алыстағ ы r_м радиус-векторы

Осы векторлық қ осынды нү ктенің кү рделі қ озғ алысының векторлық тең деуі болады. р радиус-векторын қ озғ алмалы координат ө стеріндегі проекциялары х'у'г' жэне осы ө стердің бағ ыттарының ө згеруін сипаттай- тын i, j, k бірлік векторлары (орттар) арқ ылы ө рнектейтін болсақ, онда

13. Ү деулерді қ осу туралы теорема (Кориолис теоремасы)

Кү рделі қ озғ алыстағ ы нү ктенің абсолют ү деуі деп оның абсолют жылдамдығ ынан уақ ыт бойынша алынғ ан бірінші туындығ а немесе нү ктенің абсолют қ озғ алыстағ ы радиус-векторынан уақ ыт бойынша алынғ ан екінші туындығ а тең болатын векторды айтамыз.

1. радиус-векторы қ озғ алмайтын Oxyz санақ жү йесіне қ атысты қ озғ алыста болатын қ озғ алмалы Ox’y’z’ санақ жү йесінің бас нү ктесінің орнын анық тайтындық тан, ө рнегі нү ктенің тасымал қ озғ алысының ү деуін сипаттайды. ө рнегінде x’, y’, z’ ( нү ктенің салыстырмалы қ озғ алысының координаттары)шамалары тұ рақ ты болғ андық тан, М нү ктесінің қ озғ алмалы санақ жү йесіне қ атысты орны ө згермейді, яғ ни салыстырмалы қ озғ алыс болмайды. Бірақ қ озғ алыс қ озғ алмайтын санақ жү йесіне қ арағ анда болғ андық тан, ө рнегі де нү ктесінің тасымал қ озғ алысының ү деуін сипаттайды.

Осы жағ дайларды ескере отырып, нү ктенің тасымал қ озғ алыстағ ы ү деуін мынадай тү рде жазамыз:

. (13.11)

2. ө рнегі бойынша М нү ктесі қ озғ алмалы санақ жү йесіне қ арағ анда қ озғ алады жә не координат ө стерінің бағ ыты ө згермейді, яғ ни тасымал қ озғ алыс болмайды. (11.16) тең деуі бойынша бұ л ө рнек нү ктенің салыстырмалы қ озғ алысының а_r ү деуі болып табылады.

а_r = (13.12)

3. (13.10) ө рнегінің жақ шағ а алынғ ан қ осындысын тү рлендірейік. (12.25) формуласының негізінде i’, j’, k’ орттарынан уақ ыт бойынша алынғ ан туындыларды векторлық кө бейтінділер ретінде қ арастырайық:

Мұ нда - қ озғ алмалы санақ жү йесінің, O’ бас нү ктесі арқ ылы ө тетін ө стен айналмалы қ озғ алысының бұ рыштық жылдамдық векторы. Жалпы жағ дайда векторының шамасы да, бағ ыты да ө згеріп отырады.

Атты дененің жазық параллель қ озғ алысының тең деуі. Жазық фигура қ озғ алысын тасымал – ілгерілмелі жә не полюс айналасында салыстырмалы айналмалы қ озғ алыстарғ а жіктеу

Қ атты дененің жазық параллель қ озғ алысы деп дененің барлық нү ктелерінің қ озғ алмайтын деп алынғ ан негізгі жазық тық қ а параллель жү ргізілген жазық тық тардағ ы қ озғ алысын айтады немесе дене нү ктелері қ озғ алмайтын жазық тық қ а параллель жү ргізілген ө з жазық тық тарында қ озғ алыста болады. Мысал ретінде дө ң гелектің тү зу сызық ты рельс бетімен сырғ анамай домалайтын қ озғ алысы мен кривошипті-шатунды механизмнің шатунының қ озғ алыс келтіруге болады.

Жылжып бара жатқ ан денені шартты тү рде қ озғ алмайтын деп алынғ ан Н (14.1 - сурет) жазық тығ ына паралель Н₁ жазық тығ ымен қ иғ анда, осы жазық тық та S қ имасы (жазық фигура) пайда болады. Жазық параллель қ озғ алыс анық тамасы бойынша S жазық фигурасы денемен бірге қ озғ ала отырып, ә р уақ ытта Н₁ немесе Oxy жазық тығ ында қ алады. Сол сияқ ты, егер денені Н жазық тығ ына параллель кө птеген жазық тық тармен қ исақ, онда ә р жазық тық та пайда болатын осындай S қ ималары (жазық фигуралар) да ә рдайым ө з жазық тық тарында қ озғ алады. Енді осы негізгі Н жазық тығ ына перпендикуляр бағ ытта жү ргізілген кез келген бір тү зудің бойында орналасқ ан АА₁ кесіндісін қ арастырайық. Қ озғ алыстағ ы дененің кез келген уақ ыт мезетінде S жазық фигурасы ә рдайым Н₁ жазық тығ ында жататын болғ андық тан, АА₁ кесіндісі ө зіне-ө зі параллель (ілгерілемелі) қ озғ алады. Осы тү зудің бойында орналасқ ан барлық нү ктелердің қ озғ алысы жазық фигураның А нү ктесі қ озғ алысындай ө зара бірдей болады. Дә л осындай жазық фигурағ а перпендикуляр бағ ытталғ ан ВВ₁ тү зуінің бойында жатқ ан нү ктелердің қ озғ алысы S қ имасының В нү ктесі қ озғ алысындай болады. Осы себептен дененің жазық параллель қ озғ алысын зерттегенде, оның қ озғ алмайды деп алынғ ан жазық тық қ а параллель кез келген қ имасының (жазық фигурасының) ө з жазық тығ ындағ ы қ озғ алысы қ арастырылады. Қ иманың ө з жазық тығ ындағ ы орны осы жазық фигурада жататын А жә не В нү ктелері арқ ылы жү ргізілген АВ тү зуінің орнымен анық талады.

Жазық фигураның ө з жазық тығ ындағ ы орны оның кез келген екі нү ктесі арқ ылы жұ ргізілген АВ тү зуімен (14.3- сурет) анық талады, яғ ни жазық фигура қ озғ алысын осы АВ тү зуінің қ озғ алысы арқ ылы зерттеуге болады. Ө з жазық тығ ында қ озғ алатын фигура уақ ыт аралығ ында I орнынан II орынғ а орын ауыстырады делік. Енді осы фигураның орын ауыстыру ретін екі орын ауыстыру жиынтығ ымен жү зеге асыруғ а болатынын кө рсетейік. Ол ү шін осы фигурада орналасқ ан кез келген бір нү ктені, мысалы, А нү ктесін полюс деп алып, бірінші кезең де фигураны АВ орнынан A₁ B’ орнына параллель кө шіреміз. Бұ л жағ дайда А нү ктесі А₁ орнына орын ауыстырғ анда, В нү ктесінің траекториясы А нү ктесінің траекториясындай болады. Келесі кезең де фигураны ө зінің айналу бағ ытымен А₁ нү ктесінде _Ат бұ рышына бұ рғ анда В нү ктесі В₁ орнына келеді.

Жазық фигураның салыстырмалы айналмалы қ озғ алысының бұ рыштық жылдамдығ ының полюс орнына тә уелсіздігі. Жазық фигураның айналмалы қ озғ алысы туралы Эйлер-Шааль теоремасы

Жазық фигураның ілгерілемелі қ озғ алысының сипаттамалары болып саналатын орын ауыстыру полюс жылдамдығ ы мен ү деуі полюс деп алынғ ан нү кте орнына тә уелді болуы қ ажет, ө йткені олай болмаса, кез келген уақ ыт кезең інде жазық фигураның екі нү ктесінің жылдамдық тары мен ү деулері ө зара тең болғ андық тан, ол ілгерілемелі қ озғ алыста болареді. Оғ ан керісінше, жазық фигураның салыстырмалы айналмалы қ озғ алысының айналу бұ рышының шамасы мен бұ рылу бағ ыты полюс орнына тә уелсіз болады. Егер полюс арқ ылы фигура жазық тығ ына перпендикуляр ө тетін қ озғ алмалы ө стің айналасындағ ы жазық фигураның айналу бұ рышын φ деп белгілесек, онда оның бұ рыштық жылдамдығ ы мен бұ рыштық ү деуі мынадай тү рде жазылады

Жазық параллель қ озғ алыстағ ы дененің бұ рыштық жылдамдығ ы мен бұ рыштық ү деуін полюс арқ ылы жазық фигурағ а перпендикуляр жү ргізілген қ озғ алмалы ө с бойымен бағ ытталғ ан векторлар деп қ арастыруғ а болады. Қ озғ алмалы ө с бойымен бағ ытталғ ан бұ рыштық жылдамдық векторы ұ шынан қ арағ анда, жазық фигураның айналу бағ ыты сағ ат тілі айналысы бағ ытына қ арама-қ арсы бағ ытталады. Жазық фигураның ү демелі айналмалы қ озғ алысында бұ рыштық ү деу векторы ε бұ рыштық жылдамдық тың ω векторымен бағ ыттас болады, ал кемімелі айналмалы қ озғ алыста осы векторлар бір-біріне қ арама-қ арсы бағ ытталады. ω жә не ε векторлары полюс орнына тә уелсіз болғ андық тан, олардың шамалары мен бағ ыттарын ө згертпей, фигураның кез келген нү ктесіне тү сіруге болады, яғ ни ω жә не ε еркін векторлар болып табылады.

Теорема. Жазық фигураның шекті уақ ыт аралығ ында ө з жазық тығ ындағ ы орын ауыстыруын бір нү ктенің айналасында белгілі бір бұ рышқ а бұ ру арқ ылы беруге болады. Ө з жазық тығ ында қ озғ алып бара жатқ ан жазық фигурада орналасқ ан АВ тү зуі ∆ t уақ ыт аралығ ында А1В1 орнына орын ауыстырады делік (14.4-сурет). А жә не А1, В жә не В1 нү ктелерін ө зара қ осып, АА1, ВВ1 кесінділерінің тура ортасындағ ы С1 жә не С2 нү ктелерінен осы кесінділерге жү ргізілген перпендикулярды С нү ктесінде қ иылысқ анша жалғ астырамыз. ОСы С нү ктесі іздеп отырғ ан нү теміз, яғ ни фигураның шекті айналу центрі болады. С нү ктесі А, В, А1, В1, нү ктелерімен қ осқ анда, АВС жә не А1В1С ү шбұ рыштары пайда болады. СА=СА1, СВ=СВ1, жә не АВ=А1В1 қ абырғ алары тең дігінен осы ү шбұ рыштар ө зара тең болады