Закон сохранения количества движения (импульса)

Определение: - количество движения определяет инерцию системы.

Второй закон Ньютона можно записать в форме:

(если масса не меняется)

Или в более общем случае:

F – скорость генерации субстанции.

Рассмотрим движение жидкости (газа).

В общем случае изменение количества движения (КД) в элементарном объеме может происходить за счет 2-х причин:

1) разности входящего и выходящего потока количества движения, которая рассчитывается с помощью 1-го и 2-го слагаемых уравнения (1.1);

2) генерации КД, вызванной действием сил, приложенных к жидкости в элементарном объеме.

Рассмотрим действие первой причины.

КД можно считать видом субстанции. Поток субстанции через площадку S можно записать в виде:

Поток КД через площадку вдоль оси ОХ:

входящий:

выходящий:

Рассмотрим вторую причину изменения КД – действие сил.

Существует два типа сил: объемные силы и поверхностные силы.

Объемные силы приложены ко всему объему: сила гравитации (ρ g), электрическая сила, если объем заряжен (qE).

Поверхностные силы действуют на поверхность тела: сила давления , силы трения или внутреннего напряжения.

В общем случае к разным поверхностям, ограничивающим тело, могут быть приложены разные напряжения.

Напряжение – это вектор. Он имеет свои составляющие, направленные по осям Оx, Оy и Оz. Например, напряжение, приложенное к плоскости, перпендикулярной оси Ох:

имеет координаты , и . Совокупность трех векторов, описывающих напряжения, приложенные к трем плоскостям, ограничивающим элементарный объем, называется тензором. Для того, чтобы описать тензор, надо задать 3 вектора, или 9 скалярных чисел:

Первый индекс обозначает площадку, а второй – ось, на которой берется проекция вектора.

- рассматривается площадка, перпендикулярная оси Ox и берется проекция вектора, приложенного к этой площадке, на ось Oy.

В общем случае можно получить следующее уравнение, при условии, что жидкость несжимаема ( → ):

(1.7)

Уравнение (1.7) называется уравнением динамики сплошной среды в напряжениях.

Рассмотрим плоскость вдоль оси Ox. Для ньютоновских жидкостей справедливо следующее реологическое уравнение:

(1.8)

где μ – динамическая вязкость жидкости. (Ур.(1.8) можно интерпретировать т.о.: сила трения между двумя параллельно движущимися слоями жидкости пропорциональна разности скоростей движения этих слоев и обратно пропорциональна толщине прослойки между ними.)

Подставим (1.8) в(1.7):

,

(1.9)

где - кинематическая вязкость

(1.9)- уравнение Навье – Стокса.

Задача 1: выписать уравнение Навье - Стокса в проекциях на оси x, y, z.

Уравнение Навье-Стокса в векторной форме:

Задача. Вывести уравнение Пуазеля – распределение скоростей течения жидкости между двумя параллельными пластинами.

Принять, что течение является стационарным, установившимся, ламинарным, и на поверхности стенки выполняется условие прилипания. Объемными силами пренебречь.

1. Стационарность течения дает условие:

2. Ламинарное течение: . Жидкость течет параллельно стенкам, слоями.

3. Установившееся течение:

Давление – является линейной функцией от продольной координаты.

– условие прилипания.

Введем безразмерную координату: .

Для круглой трубы с радиусом a

Задача

Дачник собирается купить шланг для полива. Давление воды в водопроводе равно 3 бар. Максимальная длина шланга 30 м. Дачник хочет иметь такой расход, чтобы ведро воды (10 л) наполнялось за 10 с. Какой радиус должен иметь шланг?

(Кинематическая вязкость воды)

Дано:

Давление воды на входе шланга: p = 3 бар.

Давление воды на выходе = 1 атмосфера ≈ 1 бар = 1 10⁵ = 10⁵ = 10⁵

Δ p = 3 бар – 1 бар = 2 бар.

L = 30 м

V = 10 л = 10 10^-3 м²

Кинематическая вязкость воды = 0, 01 = 10^-2 10^-4

Плотность воды ρ = 10³

Решение:

Воспользуемся уравнением Хагена-Пуазейля для круглой трубы:

, где - динамический коэффициент вязкости. Выразим - из уравнения: , где ν – кинематический коэффициент. Получим: = ν ρ = 10^-3

По условию, расход воды: Q = = .

Расход воды выражается формулой: Q = S = , где - радиус сечения шланга; S – площадь поперечного сечения шланга.

= = . Выразим Q, получим: Q = . Выразим :

⁴ = = =

= м ≈ 0, 44 м = 0, 44 см.

Ответ: 0, 044м