Элементы теории. Типичным примером дифференциального уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа является уравнение колебаний струны длиной l под

Типичным примером дифференциального уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа является уравнение колебаний струны длиной l под действием внешней переменной силы в течении времени Т. Считаются заданными начальные перемещения j(х) и скорости y(х) в каждой точке струны. Принимается, что заданы зависимости перемещений от времени u_n(t) и u_k(t) на концах струны:

(1)

(2)

(3)

(4)

Здесь постоянная а² связана с натяжением струны. В данной модели должны быть согласованы краевые и начальные условия, то есть j(0)=u_n(0), j(l)= u_k(0), , . Если f(x, t) = 0, то имеем задачу о свободных колебаниях струны. Если кроме этого u_n(t) = u_k(t) = 0, то рассматривается задача о свободных колебаниях струны с закрепленными концами.

Будем рассматривать данную начально-краевую задачу в области , в которой введем сетку

с шагами h по х и t по t. Пусть - сеточная функция, принимаемая в качестве приближения искомой функции u(x, t). Аппроксимируем производную по пространственной переменной разностным выражением на временном слое :

. (5)

Для аппроксимации второй производной по времени используем аналогичную формулу:

. (6)

Заменяем в дифференциальном уравнении (1) частные производные конечными разностями и получаем разностное уравнение:

, (7)

где . Обозначив:

, (8) (7) (5) (3)2)нение:

получим простую явную формулу:

. (9)

Для однозначного вычисления по формуле (9) нужно дополнить эту формулу значениями на нулевом временном слое:

(10)

и значениями

(11)

. (12)

на границе, а так же воспользоваться какой-нибудь аппроксимацией производной в условии (3) для вычислении значений на первом временном слое. Используем простейшую несимметричную аппроксимацию:

(13)

Тогда вместо дифференциального условия (3) имеем разностное уравнение:

, (14)

которое приводится к явному виду, учитывая, что :

. (15)

Далее вычисления можно вести по формуле (9), привлекая по ходу вычислений равенства (10)-(12). При таком способе вычисления перемещений точек струны точность аппроксимации задачи (1)-(4) разностной схемой (9)-(12), (15) в целом будет иметь порядок O(h²+t) из-за первого порядка аппроксимации производной на первом временном слое (13).

Порядок аппроксимации по времени можно довести до второго, если разложить функцию по степеням t в точке (x_i; 0):

.

Используем уравнение (1) для замены второй производной по времени второй производной по координате х и аппроксимируем ее по формуле (5):

Учитывая, что

получим уравнение, которое можно использовать в описанном выше алгоритме вместо соотношения (15):

. (16)

Разностная схема (9)-(12), (16) обеспечивает точность аппроксимации O(h²+t²). Можно показать, что рассмотренные явные трехслойные разностные схемы обеспечивают устойчивость алгоритма при условии (условие Куранта):

g £ 1, то есть . (17)

При этом обеспечивается сходимость решений разностных уравнений к решению дифференциальной задачи (1)-(4).