Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Обчислення об’ємів тіл.
Розглянемо деяке тіло (рис. 19). Позначимо через площу перерізу цього тіла площиною, яка проходить перпендикулярно деякій осі через точку з координатою на цій осі . Розіб’ємо відрізок на частинні відрізки точками: Рис. 19. і проведемо через ці точки площини, перпендикулярні відрізку . На кожному з частинних відрізків оберемо довільну точку . Площини розбивають наше тіло на елементарні циліндри . Площа основи циліндра дорівнює , а висота . Сумарний об’єм всіх циліндрів: . Границя цієї суми при (якщо вона існує) називається об’ємом даного тіла. Очевидно, що – це інтегральна сума для функції , отже об’єм тіла : . Таким чином доведено формулу: . (16.1) Розглянемо, зокрема, об’єм тіла, яке утворено обертанням фігури, обмеженої графіком функції , відрізком осі та прямими та , навколо осі (рис. 20).
Рис. 20. Тоді площа перерізу , і згідно з формулою (16.1): . (16.2)
Якщо така ж сама фігура обертається навколо осі , то можна довести, що об’єм утвореного тіла дорівнює: . (16.3) Нехай тепер рівняння лінії, що обмежує нашу фігуру, задано у параметричній формі: , , , причому функція припускається неперервно диференційовною, а функція – неперервною на відрізку . Тоді, якщо фігура обертається навколо осі , то об’єм утвореного тіла дорівнює: . (16.4) Якщо та ж сама фігура обертається навколо осі , то об’єм утвореного тіла дорівнює: . (16.5) Нарешті розглянемо у полярній системі координат фігуру, яку обмежено променями , () та графіком функції . Тоді об’єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури навколо полярної осі, дорівнює: . (16.6) Приклади. 1. Знайти об’єм еліпсоїда . У перерізі еліпсоїда площиною, паралельною площині на відстані від неї утворюється еліпс: , або: . Півосі цього еліпса , і його площа дорівнює (див. приклад після формули (14.2)): . Тому за формулою (16.1) маємо: (перевірте самостійно). Зокрема, якщо , дістаємо формулу об’єму кулі: . 2. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо відрізка осі . За формулою (16.2) маємо: . 3. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої графіком функції , відрізком осі , та прямими , : а) навколо осі ; б) навколо осі . Об’єм тіла, утвореного обертанням даної фігури навколо осі , знайдемо за формулою (16.2): . Об’єм тіла, утвореного обертанням тієї ж фігури навколо осі , знайдемо за формулою (16.3): . 4. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої аркою циклоїди , , навколо: а) осі ; б) осі . Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі , знайдемо за формулою (16.4): . Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі , знайдемо за формулою (16.5): (обчислення інтегралів перевірте самостійно). 5. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кардіоїдою , , навколо полярної осі. Внаслідок симетрії кардіоїди відносно полярної осі (рис. 14), тіло, яке утворено обертанням всієї кардіоїди навколо полярної осі, співпаде з тілом, яке утворено обертанням тільки верхньої половини кардіоїди, яка відповідає зміні кута від до . Тоді, користуючись формулою (16.6), дістанемо: .
|