Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Ознаки збіжності невласних інтегралів. III.
Теорема 8 (ознака Діріхле). Нехай функція неперервна, а функція має неперервну похідну на проміжку , і виконано наступні умови: 1) функція обмежена на , тобто : ; 2) функція зберігає свій знак на , тобто або ; 3) . Тоді інтеграл збігається. Доведення. Скористаємось критерієм Коші, а саме покажемо, що : . Інтегруючи за частинами, дістанемо: . З умови 1) теореми випливає, що: , . Якщо , то , а якщо , то . Тому, якщо , то , а якщо , то . Отже . Тому . Згідно з умовою 3) теореми: : . Тому, якщо , то , і таким чином, згідно критерію Коші, інтеграл збігається. Теорему доведено. Теорема 9 (ознака Абеля). Якщо функція неперервна на проміжку , інтеграл збігається, функція обмежена на , та її похідна зберігає свій знак, то інтеграл збігається. Доведення. Оскільки зберігає свій знак, то функція монотонна, і за теоремою про границю монотонної та обмеженої функції існує скінченна границя , тому функція монотонно прямує до нуля при . Оскільки інтеграл збіжний, то функція обмежена на . Тоді за ознакою Діріхле інтеграл . Але оскільки , то інтеграл також збіжний. Аналогічні твердження справджуються для невласних інтегралів II роду. Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл , . Оскільки інтеграл при збіжний (п. 11, приклад 2), а функція обмежена та монотонна, то за ознакою Абеля інтеграл збігається.
|