Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Решим это же уравнение методом Рунге-Кутты.






Для решения дифференциальных уравнений MathCAD имеет ряд встроенных функций, в частности, функцию rkfixed, реализующую метод Рунге–Кутты четвертого порядка с фиксированным шагом. Фактически эта функция предназначена для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Функция

rkfixed(y, x 1, x 2, npoints, D)

возвращает матрицу. Первый столбец этой матрицы содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – решения и его первые производные.

Аргументы функции:

· y – вектор начальных значений (n элементов).

· x 1 и x 2 – границы интервала, на котором ищется решение дифференциального уравнения.

· npoints – число точек внутри интервала (x 1, x 2), в которых ищется решение. Функция rkfixed возвращает матрицу, состоящую из 1+npoints строк.

· D – вектор, состоящий из n элементов, который содержит первые производные искомой функции.

Рассмотрим пример решения предыдущей задачи.

Правая часть уравнения равна

f (x, y): = xy.

Зададим начальные условия:

x min: = 0, y 0: = 1,

Зададим границы изменения x:

x max: = 1.

Зададим число точек и величину шага:

n: = 10,

Находим решение по методу Рунге-Кутты:

y RK4: = rkfixed(y, x min, x max, n, f).

Выводим это решение на экран:

y RK4 =

   
0.1 1.00501
0.2 1.0202
0.3 1.04603
0.4 1.08329
0.5 1.13315
0.6 1.19722
0.7 1.27762
0.8 1.37713
0.9 1.4993
  1.64872

Сравним с точным решением.

Y (x): = .

Сформируем таблицу значений точного решения.

i: = 0.. n

xi: = x min + ih

yi: = Y (xi)

 

 

Выводим таблицу значений точного решения.

y =

 
1.005013
1.020201
1.046028
1.083287
1.133148
1.197217
1.277621
1.377128
1.499303
1.648721

Точное аналитическое решение и решение, полученное численно отличаются в точке на . То есть относительная ошибка составляет

.


 

ВОПРОСЫ К ЗАЩИТЕ

1. Что называется дифференциальным уравнением.

2. Что называется решением дифференциального уравнения.

3. Какие типы дифференциальных уравнений первого порядка существуют и как решаются.

4. Какие методы численного решения дифференциальных уравнений существуют и их реализация (описать алгоритм).

5. Какая функция в системе MathCAD позволяет решить дифференциальное уравнение.

 

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.