Векторное произведение векторов,св-ва,чз координаты.

Векторным произведением векторов и называется вектор , который определяется следующими условиями:

1) Его модуль равен где - угол между векторами и .

2) Вектор перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами и .

3) Вектор направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы и , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки

Векторное произведение векторов и обозначается символом :

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение равно нулю, если векторы и коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный:

Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а, b, а хb и a, b, bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa). Ч.т.д.

3) Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(а хb) = (lа) х b = а х (lb).

Пусть l> 0. Вектор l(ахb) перпендикулярен векторам а и b. Вектор (lа)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторы l(ахb) и (lа)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому l(a хb)= lахb. Аналогично доказывается при l< 0.

4) Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b< => ахb =0.

5) Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a+b) хс= ахс+b хс.