Элементы теории. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

. (1)

Если все диагональные элементы a_ii ¹ 0, i = 1, 2, …, n, то систему можно представить в приведенном виде:

(2)

где (3)

Введем обозначения:

, , (4)

и перепишем приведенную систему в матричной форме:

. (5)

Итерационный алгоритм реализуется следующим образом:

(6)

Если существует предел последовательности векторов , то переходя к пределу в равенстве при k ® ¥, получим , то есть является корнем приведенного матричного уравнения. Достаточные условия сходимости итераций приведены в теореме.

Теорема. Если норма матрицы , то уравнение имеет единственное решение , к которому стремится последовательность итераций при любом выборе начального приближения

В расчетах полагают, что . Погрешность приближенного решения уравнения на k -ом шаге оценивается неравенством:

. (7)

Отклонение приближения от решения по норме не будет превышать e, если:

(8)

Последнее неравенство позволяет оценить количество итераций, необходимых для достижения заданной точности:

(9)

Условие, позволяющее принять приближение в качестве решения с точностью e, можно представлять в следующей, удобной для вычислительного процесса форме:

.

Для оценки погрешности текущего приближения используется неравенство (8) в виде:

(10)

Данные неравенства обычно дают завышенную оценку числа итераций и достигнутой точности. В данных оценках необходимо использовать согласованные нормы для матриц и векторов. Будем использовать следующие нормы. Для вектора :

m -норма , (11)

l -норма , (12)

k -норма . (13)

Для матрицы :

m -норма , (14)

l -норма , (15)

k -норма . (16)