Признаки монотонности и постоянства функций

1) Теорема1: Если f(x) – непрерывна на < a, b> и , то f(x)=const на < a, b>.

Доказательство: Фиксируем на < a, b>, из < a, b> рассмотрим разность f(x)-f()=( По формуле конечных приращений Лагранжа)= f(x)=f() f ()=const.

2) Теорема2: Пусть f(x) непрерывна на < a, b>, тогда:

1)Если в (a, b), то f(x) возрастает (убывает) в [a, b]

2)Если в (a, b), то f(x) строго возрастает (строго убывает) в [a, b]

Доказательство: Пусть ; возьмём , (a, b), рассмотрим разность (По формуле конечных приращений Лагранжа)= , так как и , то есть функция возрастает.

Геометрический смысл теоремы 2:

Если , то касательная везде образует положительный (острый) угол с осью Ох, функция идёт вверх (возрастает).

Теорема3: (Необходимый признак монотонности) Если f(x) возрастает (убывает) в и , то .

Доказательство: Пусть f(x) возрастает, если бы , то по Лемме (Если внутренняя точка, то при , функция строго возрастает в , а когда , функция строго убывает) что f(x) строго убывает в , что противоречит условию.

Замечание: Из того, что f(x) строго возрастает в , еще не следует что (может быть ).