Признаки открытости и замкнутости множеств

Для любого множества E, его дополнением (CE) называется множество , т.е. множество всех точек не принадлежащих E.

Теорема 1:

1. Для того чтобы множество было открытым необходимо и достаточно, чтобы его дополнение CE было замкнутым

2. Для того чтобы E было замкнутым необходимо и достаточно, чтобы CE было открытым

Доказательство:

Пусть E открыто и покажем, что CE замкнуто, тогда любая точка E принадлежит E вместе с некоторой окрестностью, из этого следует, что в этой окрестности нет точек из CE, т.е. все предельные для E точки принадлежат CE отсюда следует, что CE замкнуто.

Теорема 2 (критерий замкнутости множеств):

Доказательство:

E – замкнутое;

1)

2) , т.е. случай 2) места не имеет

рассмотрим последовательность вложенных окрестностей т.к. - предельная для E, то в каждой из этих окрестностей

по (3) точка , т.е. E замкнуто.