Приклади. 1. Розглянемо на площині дві довільні системи координат, перша з яких задається точкою та базисом

1. Розглянемо на площині дві довільні системи координат, перша з яких задається точкою та базисом , а друга – точкою та базисом . Нехай деяка точка в першій системі має координати та , а у другій - та .Знайдемо зв'язок між числами та . При цьому будемо вважати, що точка має координати , а також відомі розклади векторів через базис : . Коефіцієнти біля базисних векторів утворюють матрицю , яку називають матрицею переходу від базису до базису . Зауважимо, що дана матриця не вироджена, тобто її визначник не дорівнює нулю. Справді, якщо , то виконувалася б рівність , звідки випливає пропорційність координат векторів та . А це суперечить тому, що вектори та лінійно незалежні. Із векторної рівності (рис. 1) дістаємо

,

звідки після прирівнювання коефіцієнтів біля базисних векторів випливає, що

(1)

Одержані співвідношення виражають зв'язок між координатами точки у різних системах координат.

При із формул (1) дістаємо

Це так звані формули паралельного перенесення. За цими співвідношеннями змінюються координати точки при переміщенні системи координат, яке не змінює напрямку координатних осей (рис. 2).

Розглянемо випадок прямокутної декартової системи координат. Вважатимемо також, що точки та співпадають. Позначимо кут між векторами та через . Тоді, очевидно,

.

Тому формули (1) набувають виду

Отримані співвідношення показують, як змінюються координати точки при повороті прямокутної декартової системи навколо початку координат на кут (рис. 3). Їх називають формулами повороту.

Зауважимо, що у цьому випадку матриця переходу від базису до базису матиме вигляд , а її визначник

.

Очевидно також, що, оскільки базисні вектори одиничні та взаємно перпендикулярні, то 1 та . Тому елементи матриці задовольняють умови

.

Матриці, елементи яких задовольняють даним рівностям, називають ортогональними.

2. Розглянемо в просторі дві довільні системи координат, перша з яких задається точкою та базисом , а друга – точкою та базисом . Нехай координатами деякої точки відносно першої системи є числа та , а відносно другої - та . Знайдемо зв'язок між цими числами. Нехай точка має координати , а вектори виражаються через базис у вигляді рівностей: , , .

Матрицю називають матрицею переходу від базису до базису . Зауважимо, що , інакше її стовпці були б лінійно залежними, що суперечить лінійній незалежності векторів .

Із векторної рівності аналогічно, як у випадку площини, дістаємо

,

звідки, прирівнюючи коефіцієнти біля базисних векторів, отримуємо

(2)

Співвідношення (2) виражають зв'язок між координатами точки в різних просторових системах координат. При із формул (2) дістаємо

Одержані співвідношення називають формулами паралельного перенесення в просторі.

3. Розглянемо на координатній площині деяку лінію , а також рівняння .

Домовимось називати дане рівняння рівнянням лінії , якщо кожний розв’язок рівняння задає точку на лінії, а також координати кожної точки на лінії задовольняють дане рівняння.

В курсі аналітичної геометрії вивчають тільки деякі із ліній, зокрема ті, які найчастіше зустрічаються в практичній діяльності. - так звані алгебраїчні лінії першого та другого порядків.

Означення 1. Лінію будемо називати алгебраїчною, якщо у деякій афінній системі координат її рівняння можна задати у вигляді рівності

(3)

де - деякі числові коефіцієнти, а показники степенів - натуральні числа або нулі.

Сума називається степенем відповідного доданка.

Найбільший із степенів доданків називають порядком лінії.

Наприклад, рівняння є рівнянням алгебраїчної лінії четвертого порядку. Відомі з шкільного курсу математики коло та парабола є

алгебраїчними лініями другого порядку (нагадаємо, що рівняння цих ліній мають вигляд ).

Покажемо, що порядок лінії інваріантний відносно вибору афінної системи координат, тобто однаковий в різних системах координат. Після переходу до іншої системи координат рівняння (3), враховуючи рівності (1), набуде виду

. (4)

Оскільки степінь кожного із доданків в отриманій рівності не перевищує степеня відповідного доданка в рівності (3), то порядок лінії, заданої рівністю (4), не перевищує порядку лінії, заданої рівністю (3). Водночас, оскільки , то, розв’язавши систему (1) відносно , дістанемо аналогічні до (1) лінійні рівності, які виражають змінні через змінні . Тому підстановка їх в співвідношення (4) приводить до рівняння лінії, порядок якої не перевищує порядку лінії (4). Таким чином, порядки ліній, заданих рівняннями (3) та (4), однакові.

4. Нехай у просторі задана деяка поверхня .

Рівняння . домовимось називати рівнянням поверхні , якщо кожний розв’язок рівняння задає точку на поверхні, а також координати кожної точки на поверхні задовольняють дане рівняння.

Означення 2. Поверхню будемо називати алгебраїчною, якщо у деякій афінній системі координат її рівняння можна задати у вигляді рівності

(5)

де - деякі числові коефіцієнти, показники степенів - натуральні числа або нулі.

Сума називається степенем відповідного доданка.

Найбільший із степенів доданків називають порядком поверхні.

Аналогічно, як і у попередньому випадку, можна довести, що порядок поверхні не залежить від вибору афінної системи координат, тобто є її інваріантом. У курсі аналітичної геометрії вивчаються поверхні першого та другого порядків.

Одною із найпростіших поверхонь другого порядку є сфера. Складемо рівняння сфери з центром у точці , радіус якої дорівнює (рис. 4).

Нехай точка належить поверхні. Оскільки , то, використавши формулу відстані між двома точками, дістаємо

, (6)

звідки

. (7)

Навпаки, нехай - один із розв’язків рівняння (7) та - відповідна точка. Тоді цей розв’язок буде також розв’язком рівняння (6), тобто . Таким чином, точка лежить на сфері. Рівняння (7) називають рівнянням сфери. Очевидно, що сфера – це алгебраїчна поверхня другого порядку.

5. Наведемо приклади деяких задач, відшукання розв’язків яких пов’язане із використанням розглянутого теоретичного матеріалу.

Задача 1. Скласти рівняння геометричного місця центрів кіл, які дотикаються до осі та до кола .

Розв’язання. Нехай точка належить шуканій множині точок (рис. 5). Тоді відстань від неї до осі буде рівна , а відстань від неї до центра заданого кола (точки ) дорівнюватиме . Оскільки радіус заданого кола рівний 2, а змінного кола , то

= +2.

Перетворюючи одержане рівняння та враховуючи те, що за змістом задачі , дістаємо , звідки , або . Із одержаного рівняння робимо висновок, що шукана множина точок утворює параболу.

Відповідь. Парабола .

Задача 2. Дослідити множину точок площини, відношення відстаней від кожної з яких до заданої точки та точки дорівнює 2.

Розв’язання. Нехай точка належить шуканій множині точок. Тоді відстань від неї до точки буде рівна , а відстань від неї до точки дорівнюватиме . Оскільки за умовою задачі , то =2 , звідки після очевидних перетворень дістаємо рівняння , або

.

Відповідь. Шукана множина точок утворює коло з центром у точці , радіус якого 4.

Задача 3. Встановити, як розташовані в просторі дві сфери, задані рівняннями та .

Розв’язання. Перетворимо перше рівняння до виду . Це дозволяє встановити, що центр першої сфери знаходиться у точці , а її радіус дорівнює . Оскільки центр другої сфери знаходиться у точці , а її радіус рівний , то відстань між центрами сфер , що більше, ніж сума радіусів . Отже, сфери не перетинаються, не дотикаються та розташовані одна зовні другої.