Лекція 1. Лекції з аналітичної геометрії

Лекції з аналітичної геометрії

(для студентів, які навчаються за спеціальністю «математика»)

Івано-Франківськ

Зміст

Лекція 1. Вектори. Лінійні операції над векторами. 1. Поняття вектора. Основні означення. Колінеарні та компланарні вектори. 2. Додавання та віднімання векторів. Властивості даних операцій. 3. Множення вектора на скаляр. Властивості. 4. Приклади розв’язання задач.

Лекція 2. Лінійна залежність та незалежність векторів. 1.Поняття лінійної залежності та незалежності векторів. Основні теореми. 2. Базис системи векторів. 3. Координати вектора. Дії над векторами в координатній формі. 4. Ортонормовані базиси. Довжина вектора. 5. Приклади розв’язання задач.

Лекція 3. Загальна афінна та прямокутна декартова системи координат. Координати точки. Поділ відрізка у даному відношенні. 1. Поняття загальної афінної системи координат. Координати точки. 2. Прямокутна декартова системи координат. Відстань між двома точками. 3. Поділ відрізка у даному відношенні. 4. Теорема Чеви.5. Приклади.

Лекції 4, 5. Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів. Їх властивості та застосування. 1. Скалярний добуток двох векторів. Властивості. Застосування. 2. Означення векторного добутку. Основні властивості даної операції та її застосування до розв’язування задач. 3. Поняття мішаного добутку трьох векторів. Властивості. Застосування до розв’язування задач.

Лекція 6. Зв'язок між координатами точки в різних системах координат. Поняття порядку лінії та поверхні. 1. Зв'язок між координатами точки в різних системах координат на площині. 2. Зв'язок між координатами точки в різних системах координат у тривимірному просторі. 3. Поняття порядку лінії. 4. Поняття порядку поверхні. 5. Приклади.

Лекція 7. Пряма на площині. Різні способи задання прямої на площині. 1. Геометричні образи рівнянь першого степеня з двома змінними. 2. Різні способи задання прямої на площині. 3. Частинні випадки загального рівняння прямої. 4. Приклади.

Лекція 8. Взаємне розташування прямої та деяких геометричних фігур. 1. Відстань від точки до прямої. 2. Взаємне розташування кола та прямої. 3. Взаємне розташування двох прямих на площині. Умова паралельності. Кут між двома прямими. Умова перпендикулярності. 4. Відстань між двома паралельними прямими. 5. Геометричний зміст знаку виразу. 6. Пучок прямих. 7. Задачі.

Лекція 9. Різні способи задання прямої та площини в просторі. 1. Геометричні образи рівнянь першого степеня з трьома змінними. 2. Різні способи задання площини. 3. Загальне рівняння площини та його частинні випадки. 4. Різні способи задання прямої в просторі. 5. Задачі.

Лекція 10. Відстань від точки до площини. Взаємне розташування площин. 1. Відстань від точки до площини. 2. Геометричний зміст знаку виразу. 3. Взаємне розташування двох площин. Умова паралельності. Кут між двома площинами. Умова перпендикулярності. 4. Відстань між двома паралельними площинами. 5. Взаємне розташування трьох площин. 6. Приклади.

Лекція 11. Взаємне розташування прямої та площини. Дві прямі в просторі. 1. Пряма і площина в просторі. Кут між прямою та площиною. 2. Взаємне розташування двох прямих в просторі. 3. Рівняння спільного перпендикуляра. Відстань між двома мимобіжними прямими. 4. Задачі.

Лекція 12. Канонічні рівняння еліпса, гіперболи та параболи. 1. Поняття загального рівняння другого порядку. 2. Означення еліпса. Канонічне рівняння. Вирази для фокальних радіусів. 3. Означення гіперболи та її канонічне рівняння. Вирази для фокальних радіусів. 4. Означення параболи та її канонічне рівняння. 5. Приклади.

Лекції 13, 14. Вивчення властивостей еліпса, гіперболи та параболи за канонічними рівняннями. 1. Найпростіші властивості еліпса та його зображення. 2. Найпростіші властивості гіперболи та її зображення. 3. Властивості та зображення параболи. 4. Поняття

ексцентриситету. 5. Поняття директрис. Директоріальна властивість ліній другого порядку. 6. Дотична до лінії другого порядку. 7. Оптичні властивості ліній другого порядку.

Лекція 15. Поняття полярних координат. Рівняння конічних перерізів у полярних координатах. 1. Поняття полярних координат. 2. Зв'язок між полярними та прямокутними декартовими координатами. 3. Відстань між двома точками та площа трикутника у полярних координатах. 4. Рівняння деяких ліній у полярних координатах. 5. Рівняння конічних перерізів. 6. Історія виникнення назви конічних перерізів.

Лекція 16. Деякі поверхні другого порядку. Їхні канонічні рівняння, властивості та зображення. 1. Загальне рівняння поверхні другого порядку. Сфера та її рівняння. 2. Дослідження поверхні другого порядку за допомогою плоских перерізів. 3. Еліпсоїд. Властивості. Зображення. 4. Однопорожнинний гіперболоїд. Властивості. Зображення. 5. Двопорожнинний гіперболоїд. Властивості. Зображення. 6. Еліптичний параболоїд. Властивості. Зображення. 7. Гіперболічний параболоїд. Властивості. Зображення.

Лекція 17. Циліндричні та конічні поверхні. Поверхні обертання. Прямолінійні твірні поверхонь другого порядку. 1. Поняття циліндричної поверхні. Рівняння циліндричних поверхонь. Приклади. 2. Поняття конічної поверхні. Рівняння конічних поверхонь. 3. Поверхні обертання. 4. Прямолінійні твірні поверхонь другого порядку. 5. Приклади розв’язання задач.

Лекція 18. Загальне рівняння лінії другого порядку. 1. Поняття загального рівняння лінії другого порядку. 2. Перетин лінії з прямою. Частинні випадки. 3. Центр лінії. 4. Рівняння дотичної та нормалі.

Лекції 19 – 20. Деякі властивості ліній другого порядку та їх застосування до зображення ліній. 1. Теорема про середини паралельних хорд лінії другого порядку. 2. Спряжені напрямки та спряжені діаметри. 3. Спряжені напрямки нецентральних ліній. 4. Головні напрямки та головні діаметри. Рівняння осей симетрії. 5. Рівняння асимптот лінії другого порядку. 6. Орієнтовна схема вивчення властивостей лінії другого порядку. 7. Приклади побудови ліній за їхніми рівняннями.

Лекція 21. Спрощення рівняння лінії другого порядку за допомогою геометричних перетворень. 1. Спрощення рівняння лінії за допомогою паралельного перенесення системи координат. 2. Спрощення рівняння лінії за допомогою повороту системи координат. 3. Застосування геометричних перетворень для побудови ліній другого порядку.

Лекція 22. Інваріанти рівняння кривої другого порядку. Застосування інваріантів для побудови ліній та їх класифікації. 1. Інваріанти рівняння лінії. 2. Характеристичне рівняння. 3. Класифікація ліній другого порядку. 4. Застосування інваріантів для побудови ліній другого порядку.

Лекція 23. Загальне рівняння поверхні другого порядку. 1. Поняття загального рівняння поверхні другого порядку. 2. Перетин поверхні з прямою. Частинні випадки. 3. Центр поверхні. 4. Рівняння дотичної площини та нормалі.

Лекція 24. Перетворення площини. 1. Поняття перетворення площини. Приклади перетворень площини. 2. Група геометричних перетворень та її підгрупи. 3. Композиції деяких геометричних перетворень.

Лекція 25. Афінні перетворення площини. 1. Поняття афінного перетворення площини. Група афінних перетворень. 2.Ввластивості афінних перетворень. 3. Афінна еквівалентність фігур. 4. Відношення площ афінно еквівалентних фігур.

Лекція 26. Переміщення. Їх властивості та застосування. 1. Поняття переміщення. Способи задання переміщень. 2. Властивості рухів. 3. Частинні випадки рухів. 4. Представлення рухів у вигляді композиції осьових симетрій. 5. Приклади задач, розв’язання яких ґрунтується на застосуванні переміщень.

Лекція 27. Перетворення подібності. 1. Гомотетія. Означення. Способи задання. 2. Властивості гомотетій. 3. Перетворення подібності. Властивості. Аналітичне задання. 4. Приклади задач.

Лекція 28. Інверсія. Властивості та застосування. 1. Означення інверсії. Найпростіші властивості. Побудова інверсних точок. 2. Аналітичне задання інверсії та деякі інші її властивості. 3. Приклади задач, розв’язання яких ґрунтується на застосуванні інверсії.

Лекція 1