Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Для уравнения Гельмгольца.






Рассмотрим подробно решение модельной задачи для функции Грина задачи Дирихле:

Здесь ( где – точка измерения (параметры интегрирования) и – точки источников (переменные интегрирования). Дельта-функция Дирака симметричная и четная, поэтому также При проведении физических опытов точки источника и измерения можно поменять местами. При получим как измерение в точке источника. В области гармоничности будет

Решение уравнения для функции Грина будем искать в виде суммы где функция описывает влияние точечного источника из точки Mˈ (действия всех наводящих зарядов и полей), а функция описывает влияние зарядов, наведенных на границе и не имеет особенностей внутри области (может иметь их вне области).

В безграничном пространстве при уравнение для функции Грина будет однородным (здесь при ) и симметричным (не зависит от углов). Если ввести сферическую систему координат где с центром в точке , то уравнение существенно упростится и для слагаемого получим:

олучмавнение существенно упростится и для слагаемого здесь при .

Решение этой задачи очевидно общее решение Если зависимость от времени выбрать в виде , то постоянная нет волн сходящихся (приходящих), и постоянную можно принять (решаемое уравнение однородное), тогда решение последнего уравнения получим в виде а функция Грина оказывается равной:

Функция Грина (источника) имеет особенность только при

(когда , а для определения «маленькой» функции используем ниже метод электростатических изображений и поставим такую задачу

Ищем функцию подобной функции ‚ так как обе удовлетворяют одинаковому уравнению и симметричные. Нужно просто согласовать знаки в корне для радиуса с помощью граничных условий, это сводится к построению заряда-изображения. Здесь эквипотенциальная граница действует как заряд противоположного знака в точке изображения. Таким образом для определения функции Грина нужно решать не сложную задачу о распределении амплитуд поля, созданного зарядами с распределениями и ‚ а более простую задачу о распределении амплитуд поля, созданного единичным точечным вибратором над заземленной поверхностью . Тогда M -точка измерения поля (место нахождения пробного заряда), - места источников поля и зарядов, наведенных на граничных поверхностях (металлических границах), место заряда-изображения (находится за границей и имеет противоположный знак).

Для задачи с условиями Неймана нужно взять разность функций в виде ‚ как для двух одноименных зарядов (их силовые линии скользят вдоль границы). Для определения функции Грина для второй и третьей краевых задач (при и ᴂ ) рассуждения аналогичны; всегда следует проверять выполнение условия разрешаемости для второй краевой задачи. Вид функции Грина определяется только условиями на граничной поверхности S.

Функция Грина (источника) определяется методом электростатических изображений (методом Томсона-Kельвина) обычно только для некоторых простых областей, ограниченных участками плоскостей, цилиндров и сфер. Это области, вдоль границ которых можно скользить в двух взаимно перпендикулярных направлениях.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.