Вывод общих формул для решения второй и третьей краевых задач.

При решении второй краевой задачи Неймана для уравнения Гельмгольца внутри области V с границей

cначала нужно решить аналогичную модельную задачу для функции Грина(источника)

Если подставить уравнения для функций и в формулу Грина и (см. выше) учесть условие то получим

Теперь решение второй краевой задачи запишется в виде

При условии =0 нет потока за поверхность , здесь силовые линии идут по касательным к границе . Для однородного и неоднородного уравнений Гельмгольца функции Грина одинаковы (при добавляется соответствующий интеграл).

Таким образом, формула для решения второй краевой задачи отличается от формулы решения задачи первой двумя признаками: в интеграле по поверхности S меняется вид зависимости от функции Грина Решение находится с точностью до произвольной аддитивной постоянной однако, при решении задач в безграничных областях эта постоянная равна нулю.

Кроме того, задаваемые условия задачи Неймана должны удовлетворять условию разрешимости:

или

Физический смысл этого условия: стационарное (неизменное) состояние поля (вещества, температуры и др.) внутри замкнутой области достигается только при равновесии между работой источников с интенсивностью внутри и интенсивности оттока вещества (теплоты и др.) за границы области

Для решения третьей (смешанной) краевой задачи для уравнения Гельмгольца:

(ᴂ и получаем формулу аналогичную формуле для решения второй краевой задачи Неймана (см. выше). Однако, теперь добавка И всегда удовлетворяется условие разрешимости. Но функция Грина остается прежней, ведь она определяется формой граничных условий, а не значениями функций и