Постановка и основные типы задач

Часть третья

Решение стационарных задач математической физики методом функции Грина (источника)

Постановка и основные типы задач

В предыдущих разделах решения задач находились в виде бесконечных рядов, что не всегда удобно при их использовании. Однако, в некоторых случаях (особенно при решении уравнений эллиптического типа для стационарных задач) решение можно получить в конечной замкнутой форме, использовав соответствующую разрешающую формулу. Нужно только суметь отдельно определить функцию Грина (источника) задачи в замкнутой форме (в виде единой формулы, а не в виде ряда). Это часто удается сделать, используя известный метод электростатического изображения заряда в граничной поверхности (метод В. Томсона-Кельвина).

Поставим задачу для уравнения эллиптического типа внутри пространственной области V, ограниченной замкнутой поверхностью .

Здесь – искомая функция; – точка измерения и

∪ – точка источника; – оператор Лапласа в трехмерной системе координат Oxyz.

Коэффициенты = 0 или 1 – постоянные; ≥ 0 – волновое число; при ≠ 0 в системе имеются потери. При ᴂ =0 получаем уравнение Пуассона, а при ᴂ = =0 – уравнение Лапласа. При =0 и =1 получаем граничное условие первого рода = (условие Дирихле), а при =1 и =0 – условие второго рода = (условие Неймана); здесь – внешняя нормаль к граничной поверхности

.

Введем также радиус-векторы точек и , обозначим = , = и = ˃ 0.

Рассматриваемые задачи называются по названию граничного условия, затем указывается для какого уравнения.

Для всех трех вариантов, поставленных выше краевых задач, можно доказать существование и единственность функции Грина; вид этой функции зависит только от формы граничных условий.