Аппроксимация функций. Полином Qm(x)=a0+a1x+ +amxm называется аппроксимирующим заданную функцию y(x), если он имеет наименьшее отклонение от заданной функции y(x)

Полином Q_m(x)=a₀+a₁x+…+a_mx^m называется аппроксимирующим заданную функцию y(x), если он имеет наименьшее отклонение от заданной функции y(x). Максимальная степень m аппроксимирующего полинома, как правило, всегда значительно меньше числа экспериментальных точек. За меру отклонения полинома Q_m(x)=a₀+a₁x+…+a_mx^m от функции y(x) принимают величину

где S_m есть функция от неизвестных коэффициентов а₀, а₁, …, а_m, которые нужно подобрать так, чтобы величина S_m была минимальной. Этот метод носит название метода наименьших квадратов.

Аппроксимируем заданную табличную зависимость полиномом 1-й степени. Аппроксимирующий полином будет иметь вид Q(x)=a₀+a₁x. Величина

должна быть минимальна, а значит, должно быть выполнено условие равенства нулю всех ее частных производных, т.е.

Таким образом, получаем систему из 2-х линейных уравнений, позволяющий найти неизвестные коэффициенты а₀, а₁:

Выполним аппроксимацию полиномом 1-ой степени, используя средства электронных таблиц Excel. Построим график табличной зависимости. Для этого выделим всю таблицу значений и далее на этом диапазоне ячеек построим точечную диаграмму. Искомый аппроксимирующий полином построим выполнив Меню Диаграмма - Добавить линию тренда. В появившемся окне Линия Тренда во вкладке Тип выберем Линейная, во вкладке Параметры снова поставим флажок Показывать уравнение на диаграмме. Результат представлен на рис. 12.

Рис. 12