Реализация в пакете Excel

В качестве примера рассмотрим систему уравнений:

Данная система удовлетворяет условию сходимости и может быть решена как прямыми, так и итерационными методами. Последовательность действий (рис.7):

Оформить заголовок в строке 1 «Численные методы решения систем линейных уравнений».

В области D3: H6 ввести исходные данные, как показано на рисунке.

Ввести в ячейку F8 текст заголовка «Метод Гаусса» (выравнивание по центру).

Скопировать исходные данные E4: H6 в область B10: E12. Это - исходные данные для прямого хода метода Гаусса. Обозначим соответствующие строки A1, A2 и A3.

Подготовить место для первого прохода, обозначив в области G10: G12 названия строк B1, B2 и B3.

Ввести в ячейку H10 формулу «=B10/$B$10». Скопировать эту формулу на ячейки I10: K10. Это - нормировка на коэффициент a₁₁.

Ввести в ячейку H11 формулу «=B11-H10*$B$11». Скопировать эту формулу на ячейки I11: K11.

Ввести в ячейку H12 формулу «=B12-H10*$B$12». Скопировать эту формулу на ячейки I12: K12.

Подготовить место для второго прохода, обозначив в области A14: A16 названия строк C1, C2 и C3.

Ввести в ячейку B14 формулу «=H10». Скопировать эту формулу на ячейки C14: E14.

Ввести в ячейку B15 формулу «=H11/$I$11». Скопировать эту формулу на ячейки C15: E15.

Рис. 7

12. Ввести в ячейку В16 формулу «=Н12-В15*$I$12». Скопировать эту форму­лу на ячейки С16: Е16.

13. Подготовить место для третьего прохода, обозначив в области G14: G16 на­звания строк D1, D2 и D3.

14. Ввести в ячейку H14 формулу «=В14». Скопировать эту формулу на ячейки I14: К14.

15. Ввести в ячейку H15 формулу «=В15». Скопировать эту формулу на ячейки I15: К15.

16. Ввести в ячейку Н16 формулу «=B16/$D$16». Скопировать эту формулу на ячейки I16: К16.

17. Подготовить место для обратного хода метода Гаусса, введя в ячейки В18, E18 и H18 соответствующие тексты «х3=», «х2=» и «х1=».

18. Ввести в ячейку С18 формулу «=К16». Получим значение переменной х 3.

19. Ввести в ячейку F18 формулу «=К15-J15*К16». Получим значение перемен­ной х 2.

20.Ввести в ячейку I18 формулу «=K10-I10*F18-J10*C18». Получим значение переменной х 1.

21. Ввести в ячейку F21 текст заголовка «Метод простой итерации» (выравни­вание по центру).

22. Ввести в ячейку J21 текст «е=» (выравнивание по правому краю).

23. Ввести в ячейку К21 значение точности е (0, 0001).

24. Обозначить в области А23: А25 названия переменных.

25. В области В23: В25 задать начальные значения переменных (нули).

26. Ввести в ячейку С23 формулу «=($H$4-$F$4*B24-$G$4*B25)/$E$4». Полу­чим значение переменной х 1 на первой итерации.

27. Ввести в ячейку С24 формулу «=($H$5-$E$5*B23-$G$5*B25)/$F$5». Полу­чим значение переменной х 2 на первой итерации.

28. Ввести в ячейку С25 формулу «=($H$6-$E$6*B23-$F$6*B24)/$G$6». Полу­чим значение переменной х 3 на первой итерации.

29. Ввести в ячейку С26 формулу «=ЕСЛИ(АВS(С23-В23)> $К$21; " "; ЕСЛИ(АВS(С24-В24)> $К$21; " "; ЕСЛИ(АВS(С25-В25)> $К$21; " "; '" корни")))». Это - проверка на достижение заданной точности (при этом печата­ется сообщение «корни»).

30. Выделить диапазон С23: С26 и скопировать его до столбца К, используя при­ем протаскивания. При появлении в строке 26 сообщения «корни» соответст­вующий столбец будет содержать приближенные значения переменных х 1, x 2, x 3, которые являются решением системы уравнений с заданной точно­стью.

31. В области А27: К42 построить диаграмму, показывающую процесс прибли­жения значений переменных х 1, х 2, x 3 к решению системы. Диаграмма стро­ится в режиме «График», где по оси абсцисс откладывается номер итерации.

32. Ввести в ячейку F43 текст заголовка «Метод Зейделя» (выравнивание по центру).

33. Ввести в ячейку J43 текст «е=» (выравнивание по правому краю).

34. Ввести в ячейку К43 значение точности е(0, 0001).

35. Обозначить в области А45: А47 названия переменных.

36. В области В45: В47 задать начальные значения переменных (нули).

37.Ввести в ячейку С45 формулу «=($H$4-$F$4*B46-$G$4*B47)/$E$4». Полу­чим значение переменной х 1 на первой итерации.

38.Ввести в ячейку С46 формулу «=($H$5-$E$5*C45-$G$5*B47)/$F$5». Полу­чим значение переменной х 2 на первой итерации.

39. Ввести в ячейку С47 формулу «=($H$6-$E$6*C45-$F$6*C46)/$G$6». Полу­чим значение переменной x 3, на первой итерации.

40. Ввести в ячейку С48 формулу «=ЕСЛИ(АВ5(С45-В45)> $К$43; " "; ЕСЛИ(АВS(С46-В46)> $К$43; " "; ЕСЛИ{АВS(С47-В47)> $К$43; " "; " кор­ни")))».

41. Выделить диапазон С45: С48 и скопировать его до столбца К, используя при­ем протаскивания. При появлении в строке 26 сообщения «корни» соответст­вующий столбец будет содержать приближенные значения переменных х 1, х 2, x 3, которые являются решением системы уравнений с заданной точно­стью. Видно, что метод Зейделя сходится быстрее, чем метод простой итера­ции, то есть заданная точность здесь достигается за меньшее число итераций.

42. В области А49: К62 построить диаграмму, показывающую процесс прибли­жения значений переменных х1, х2, x3 к решению системы. Диаграмма стро­ится в режиме «График», где по оси абсцисс откладывается номер итерации.