Метод Монте-Карло.

Во многих задачах исходные данные носят случайный характер, поэтому для их решения должен применяться статистико-вероятностный подход. На основе таких подходов построен ряд численных методов, которые учитывают случайный характер вычисляемых или изме­ряемых величин. К ним принадлежит и метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло, который применяется к решению некоторых задач вычислительной математики, в том числе и для вычисления интегралов.

Метод Монте-Карло состоит в том, что рассматривается некоторая случайная величина , математическое ожидание которой равно искомой величине :

Проводится серия независимых испытаний, в результате которых получается (генерируется) последовательность случайных чисел (выборка), имеющих то же распределение, что и , и по совокупности этих значений находится выборочное среднее , которое является статистической оценкой . Искомая величина полагается приближенно равной этой оценке

Пусть – равномерно распределена на отрезке [0, 1] случайная величина. Это означает, что её плотность распределения задается соотношением

Тогда любая функция также будет случайной величиной, и её математическое ожидание равно

Следовательно, читая это равенство и в обратном порядке, приходим к выводу, что интеграл может быть вычислен как оценка математического ожидания некоторой случайной величины , которая является функцией случайной величины с равномерным законом распределения, причем оценка определяется независимыми реализациями случайной величины :

Аналогично могут быть и вычислены и кратные интегралы. Для двойного интеграла получим

Где – квадрат – независимые реализации случайных величин равномерно распределенных на отрезке [0, 1].

Для использования метода Монте-Карло при вычислении определенных интегралов, необходимо вырабатывать последовательности случайных чисел с заданным законом распределения. Существуют различные способы генерирования таких чисел.

Можно построить некоторый физический процесс (генератор) для выработки случайных величин, однако при использовании компьютера этот способ не применяется, поскольку, во-первых, трудно дважды получить одинаковые совокупности случайных чисел, которые необходимы при от­ладке программ, а во-вторых, такой физический генератор существенно усложнил бы конструкцию компьютера.

Известны многие таблицы случайных чисел, которые вычислялись незави­симо. Их можно ввести в компьютер и при необходимости обращаться к ним.

В настоящее время наиболее распространенный способ выработки случайных чисел на компьютере состоит в том, что в памяти хранится некоторый алгоритм получения таких чисел по мере потребности в них (подобно тому как вычисляются значения элементарных функций, а не хранятся их таблицы). Поскольку эти числа генерируются по наперед заданному алгоритму, то они не совсем случайны (псевдослучайны), хотя и обладают свойственными случайным числам статистическими характе­ристиками. В современных языках программирования такие алгоритмы реализованы в виде подпрограмм — датчиков случайных чисел.

Глава ll: Практическая часть (реализация в пакете Mathcad)