Пифагорейский корень случайного

Неожиданным образом пифагорейская идея, что числа правят миром (в в наших терминах она относится к первой ПМ), получает новый аспект: мы живем в мире, который описывается числами, почти сплошь случайными (по Ламберту, по Мизесу, по Колмогоровуили еще как-то).

Как я старался показать читателю, природа стохастичности кроется в природе вещественных чисел (точнее, в ситэ Мандельброта– см. гл. 6) и в симметрии, порождающей равновозможность. А понятие симметрии, тоже восходящее к пифагорейской школе, в наше время может рассматриваться как принадлежащее к четвертой ПМ, т.е. как атрибут целостности.

Как уже выше говорилось, главный просчет Мизеса, оттолкнувший от него математиков, состоял в отказе от симметрийного подхода. Его к тому времени реализовали в физике Пьер Кюрии Эмми Нётер. Деля свои симпатии между второй ПМ (как механик) и третьей (статистическое понимание случайности), Мизессовсем не был готов увидать аспекты четвертой.

Однако давно пора прекратить брань в адрес Мизеса, ставшую для наших философов еще со сталинских времен досадной традицией. Мизес был прямым предшественником и первой, и второй аксиоматик Колмогорова, что одно уже ставит его в ряд выдающихся мыслителей. Само существование в алгоритмической ТВ понятия " случайность по Мизесу– Колмогорову" делает привычные философам архаические упреки в адрес книги [Мизес, 1930] непрофессиональными. Они, кстати, разительно контрастируют с коллективной монографией [Philosophy..., 1993], отводящей Мизесудостойное место. К сожалению, более новая проблематика и тут едва упоминается, причем невероятностная случайность рассматривается только как акт мышления, а не как явление природы.

Но вернемся к пифагореизму. Не следует думать, что тридцатый знак после запятой не может играть практической роли – пусть он не играет роли при измерениях(*), зато прекрасно работает, например, в программе случайных чисел.

Хотя на практике случайные числа получают более коротким путем, нежели вычисление иррациональных чисел, но последние имеют то принципиальное преимущество, что дают бесконечную непериодическую последовательность и порождают случайность, в этом смысле подлинную (в отличие от компьютерных таблиц псевдослучайных чисел, которые через сколько-то миллионов строк начинают повторяться). Тот факт, что такая последовательность является неслучайной в алгоритмическом смысле (каждый знак однозначно вычисляется) и не вполне случайной в сложностном смысле (в ней есть, как мы видели в п. 6-7, квази-периодичность), не должен заслонять главного — иррациональность устроена так, что порождает случайность как непредсказуемость.

Это и есть, на мой взгляд, основной источник случайности физических явлений. Образно и нестрого говоря, всюду, где имеется неустойчивость типа динамического хаоса, на конечный результат может влиять очень далекий от запятой знак того или иного числа, а знак этот почти всегда случаен. В силу симметрии почти всех действительных чисел эта случайность обладает устойчивой частотой, т.е. вероятностью. В этом видится причина широкой применимости ТВ, и ответ на вопрос заглавия статьи [Алимов, Кравцов, 1992] получается такой: вероятность является нормальной измеримой (в том числе и физической) величиной для симметричных (в указанном в гл. 4 смысле) случайностей.

Отсюда ясно, что ТВ (и стандартную МС) нельзя применять там, где мы имеем дело с тем или иным нарушением симметрии. Тема нестандартной МС выходит за рамки данной книги, о ней есть обширная литература – см. например [Хайтун, 1989; Фуфаев, 2000], но вопрос о существовании вероятности в ней, насколько знаю, не ставится.

Позиция стандартной (гауссовой) статистики, как и стандартной (канторовской) теории множеств, выглядит архаичной, и именно этот архаизм ведет в математике к тому, с чем интуиционисты вот уже 90 лет сражаются. В частности, архаизм не замечал и не замечает четырех маргинальных направлений в математике, лежащих в основе нашей темы, – частотное направление в ТВ, статистика гиперболических распределений, нестандартный анализ и умеренно конструктивное (по Мартин-Лёфу) понимание континуума. Каждое в отдельности может выглядеть не очень весомо, но вместе они дают цельную картину мира случайностей. Так что в виде девиза второй части моей книги можно бы заявить: " Маргиналии всех форм, соединяйтесь! "