О математических моделях случайного

Как уже сказано в Предисловии, эта книга избегает математического моделирования в тех формах, какие более всего приняты в литературе, поскольку там обычно даже не упоминаются те трудности, которым книга посвящена. Точнее говоря, у нас вовсе не будет речи об имитационных моделях, когда ставится цель имитировать какие-то желаемые свойства объекта. К ним относится подавляющее большинство математических моделей. Речь пойдет только об ориентационных и мажорирующих моделях. Первые призваны показать какие-нибудь новые логические возможности, до моделирования остававшиеся незамеченными, а вторые должны ограничить реальный круг приложимости таковых возможностей.

Однако сам я начал именно с имитационных моделей эволюции, где, как и большинство авторов, " искал кошелек под фонарем". Поэтому и путь к алеатике оказался через оценку роли разных типов моделей.

Первый раз, когда мне пришлось исходить из наличного математического аппарата, а не из реальных свойств изучаемого объекта природы, был связан с желанием ответить на вопрос о том, может ли коллектив простых стохастических объектов решить достаточно сложную задачу оптимизации (матричную игру). Ответ удалось найти [Чайковский, 1971а], и состоял он в том, что возможности таких коллективов скромны.

В этой работе было показано, что для нахождения оптимального поведения в матричной игре игрок, являющийся однородным коллективом автоматов, должен обладать как минимум следующим свойством: каждый член коллектива должен знать номер хотя бы одного действия, к которому в данный момент t следует переходить. Если же он знает чуть меньше – что выполняемое им действие следует менять (но неизвестно, на какое), то при наличии трех и более действий игра сводится к бесконечному перебору действий без приближения к решению. В данной работе еще господствует идеология предельного подхода, позже мною не использованная.

При чтении статьи надо иметь в виду, что публикации не повезло: на с. 1027 спутаны номера формул с номерами из списка литературы. Еще менее повезло ее переводу [1971б]: на с. 1246 он содержит смысловые ошибки. Оба печатных текста стали мне доступны лишь по их выходе в свет.

Хотя исходная установка модели, позволившая мне применить аппарат теории игр, была заимствована из третьей ПМ (мне тогда представлялось, что реальные объекты в случайной среде способны оценивать средние величины, что дискретные величины можно заменять непрерывными) и оказалась далекой от биологической реальности, однако результат имел для меня решающее значение: начиная работу, я был уверен во всесилии естественного отбора (так нас всех учили), а по окончании стал искать в литературе данные об иных механизмах эволюции. Тем самым, модель оказалась ориентационной.

Вскоре один механизм, ответственный за простые эволюционные акты, был найден генетиками и сформулирован мною – генетический поиск. Он непременно включает элемент случайности, но в целом целенаправлен. Для понимания этого тоже понадобилась математическая модель [Чайковский, 1974; 1976]. Она основана на теории стохастических автоматов, о которых речь в следующем параграфе.

Генетическим поиском называются " те чрезвычайные режимы работы генетической системы, когда в ней изготовляются новые тексты ДНК" [Чайковский, 1976, c. 156-157; 1990, c. 96]. Наиболее важным выводом концепции генетического поиска мне представляется тот, что объектом естественного отбора не могут служить признаки, а может служить в каждый данный момент эволюционного времени только один-единственный квант селекции, т. е. несомненно полезное приобретение, неразложимое отбором на части (т.е. части этого качества не могут в реальных условиях отбираться по отдельности), но способное быть отобранным как целое. В свою очередь, понятие кванта селекции позволило придать разумный (реалистический) смысл понятию естественного отбора. Об этом пойдет речь пойдет в главе 9.

Третья математическая модель касалась ограничения круга задач, в принципе доступных для решения с помощью общепринятых имитационных моделей. Была построена мажорирующая модель естественного отбора (модель, в которой все предположения благоприятствуют эффективности отбора) в виде ветвящегося процесса и показано, чего отбор заведомо сделать не может. Она была упомянута ранее, в главе 7, а подробнее будет рассмотрена далее, в п. 9-7.

К проблеме случайности относится также тот круг ориентационных моделей, который связан с теоремой Гёделяо неполноте. Может ли материальная система в каком-то смысле определять сама себя, подобно разговорному языку? Содержательный ответ возможен только в рамках модели, и такой моделью представляется формальная система, содержащая арифметику.

Для таких систем известна теорема Гёделя: всякая непротиворечивая система дедуктивно неполна. Это значит, что в ней можно сформулировать истинное утверждение, которое, однако, нельзя вывести из аксиом этой логики посредством правил вывода этой логики. Существенно, что истинность этого утверждения доказать можно, но это будет доказательство-проверка, а не доказательство-вывод; другими словами, Гёдель показал, что возможно утверждение, в истинности которого можно убедиться средствами данной логики, если утверждение уже сформулировано, но самый вывод этого утверждения (нахождение формулировки) требует более общего аппарата, нежели данная система [Паршин, 2000]. В связи с этим я когда-то написал:

" Поскольку теорема Гёделяобобщается на любую достаточно богатую логическую систему, можно сказать следующее: все формальные системы делятся на две группы в отношении разнообразия их свойств – на примитивные и гёделевские. Примитивная система полностью определяет свои свойства в том смысле, что любой факт, формулируемый на ее языке, в ней формально выводится; вся эволюция в рамках такой системы сводится к удлинению текстов, записываемых по раз навсегда заданным правилам. Наоборот, гёделевская (включающая арифметику) система способна к качественной эволюции: в ее рамках можно записать осмысленный текст, смысл которого не вытекает из правил его построения (на основе более коротких текстов), хотя и согласован с этими правилами. Получение такого текста в рамках системы неформально и может быть формализовано только путем добавления новой аксиомы (выхода на новый логический уровень). Добавление аксиомы выглядит произвольным (случайным) актом с позиций прежней логики, но закономерно с позиций новой (расширенной) логики: добавляется именно аксиома, которая нужна для формального вывода заданного утверждения" [Чайковский, 1985, c. 166].

Мне было приятно узнать, что это не был плод невежества – близкую мысль высказал недавно Паршин, закончивший ее словами: " Должна существовать теорема Геделя в биологии, показывающая невозможность полного описания живых организмов в чисто генетических терминах" [Паршин, 2000, c. 55]. Мою статью он увидел позже.

Еще один тип ориентационных моделей – это автоматы, которые не моделируют никакого конкретного объекта, зато демонстрируют неизвестные ранее возможности случайного поведения. Впервые их рассмотрели в 1960-х годах московский кибернетик М.Л. Цетлин(увы, вскоре безвременно умерший) и сложившаяся вокруг него группа исследователей. Они обнаружили ту форму оптимального поведения, которая может реализоваться только в среде, случайно реагирующей на действие объекта. Эти работы служат отличной иллюстрацией организующей роли случайности, о чем скажем в следующем параграфе.

Вскоре американский биокибернетик Стюарт Кауфманоткрыл другой класс автоматов, ничего конкретно не моделирующих, но коллектив которых способен к самоорганизации. Вывод Кауфмана: эволюция может эффективно протекать не в детерминированных и не в хаотических системах, на границе между порядком и хаосом, причем приближение коллектива автоматов к этой границе сравнительно легко достигается путем уменьшения числа связей между автоматами [Кауфман, 1991].

Замечу: во-первых, тут фактически речь идет о кванте селекции: объектом отбора могут эффективно служить не признаки, но способы организации систем; а во-вторых, на границе порядка и хаоса наблюдается нестохастическая случайность (см. п. 5-4).