Неизмеримость без свободы выбора

Может создаться ложное впечатление, что случайность без вероятности – специфика психических явлений. Поэтому важно иметь примеры, показывающие, что душевная деятельность – не единственный источник свободного выбора, а сам свободный выбор – не единственный источник неизмеримости. В нестандартном анализе (о нем сказано в гл. 2) легко видеть неизмеримые множества, имеющие отношение к нашей теме.

Вот пример. Приняв, что множество всех точек единичного отрезка [0, 1], записанных в t-ричной системе, есть запись множества исходов всех возможных бесконечных серий бросаний симметричной t-гранной кости (об этом см. в главах 2, 4 и 6), имеем: мера (длина) всего отрезка есть вероятность реализации хоть какой-то серии и равна 1, а вероятность получить любую заданную серию равна нулю. Нулю же равна вероятность получить любой набор (различных серий) конечной длины. Это значит, что мы, ограничив длину набора каким-либо числом n, конечным или счетным, получаем множество точек отрезка количеством, конечным или счетным, получаем подмножество множества точек отрезка [0, 1], имеющее нулевую меру; если же количество не ограничивать, то получается множество либо нулевой (таково множество Кантора — см. с. 124), либо положительной меры. Считается, что какая-то мера обнаруживается всегда. (См., впрочем, Пояснение на с. 271.)

При обычном (стандартном) понимании действительного числа иных возможностей нет, но в нестандартном анализе мы можем ограничить длину серий гипернатуральным числом N. Можно также фиксировать N-й знак во множестве бесконечных серий, например – взять все числа, у которых на N-м месте стоит 1. При этом " множество (стандартных) действительных чисел и будет неизмеримо по Лебегу(... доказательство несложное: оно основывается на том, что, грубо говоря, любой интервал заполняется этим множеством наполовину)" [Успенский, 1987, c. 56]. Поясню: во-первых, наполовину интервал заполняется только при t=2; во-вторых, мера данного подмножества складывается из интервалов, целиком принадлежащих этому подмножеству.

Не входя в спор о том, можно ли считать стандартными числа, у которых фиксирован гипернатуральный знак, подумаем, что же такой пример может значить для алеатики. По-моему, что он может быть полезен там, где приходится иметь дело одновременно с числами, различающимися на много порядков, так что одни по отношению к другим выступают как бесконечные, но в то же время сами по себе должны изучаться как конечные. Это мы увидим в главе 9.

Однако с позиций интуиционизма и, особенно, конструктивизма (см. гл. 6) приведенные выше примеры неизмеримости ничего не значат как неконструктивные – в том смысле, что фактически построить соответствующие множества нельзя. Поэтому важно отметить, что конструктивный пример неизмеримого множества тоже существует [Мартин-Лёф, 1975, с. 113]. Он намного более сложен.