Свободный выбор как случайность без вероятности

О свободном выборе как случайности размышлял еще Лейбниц. Вот как резюмировал его мысли израильский философ Эльханан Якира: " Бог Лейбница– не Демиург, обозревающий познаваемый и вечный мир", " Бог не выбирает индивидуальные возможности; он выбирает между целыми совозможными системами, которые являют собой возможные миры, каждый из которых обусловлен определенными первичными намерениями Бога"; и именно этот факт неполной детерминированности " допускает случайность частных феноменов" [Yakira, 1989, c. 74, 81].

Что касается математики произвольного выбора, то ей едва сто лет. Точнее, ее рождение можно видеть в работах Эрнста Цермело1900-х гг. Работы касались двух тем.

В рамках первой Цермелоположил началотеории игр, т.е. моделированию конфликтных ситуаций. В любом конфликте возникает неопределенность, связанная с тем, что каждый его участник, выбирая способ действия, должен учесть намерения противника (противников).

Основным в теории игр стал (уже после Цермело) принцип минимакса. Он постулирует, что каждый игрок действует так, чтобы гарантировать себе максимальный возможный выигрыш в наихудшей для него игровой ситуации. Проблема свободы выбора не столько решена тут, сколько обойдена (как в ТВ обойдена проблема случайности испытания): решение достигается путем введения принципа, вроде бы очевидного, но на деле редко применимого и, главное, ничего не оставляющего от факта игры. Ведь всякий процесс игры есть последовательность актов свободного выбора.

Если в ТВ инвариантом, лежащим в основе теории, является вероятность, то здесь в роли инварианта выступает результат применения принципа минимакса; он именуется решением игры. Решение игры – это набор оптимальных стратегий каждого игрока и их средних выигрышей. В тех играх, где решение существует, оно играет ту же роль, что в серии испытаний играет вероятность.

Сама идея ввести принцип, общий для всех участников игры, означает, что идеальные игроки мыслятся как образующие единую систему, т.е. идея реализует четвертую ПМ. Реальные же игроки не могут ни точно решить игру, ни отказаться от своих эмоциональных предпочтений, зато хотят играть (переживать процесс игры). Поэтому неопределенность сохраняется, что и делает игру игрой, т.е. совокупностью актов свободного выбора. Игры в этом смысле – возможный предмет будущего интереса ученых в рамках шестой ПМ, видящей мир как систему предпочтений.

До сих пор анализ случайности мы вели путем ее детерминизации, т.е. путем выявления инвариантов в случайном. Таковы судьба, шифр, скрещение путей, вероятность, устойчивая частота, устойчивое распределение, решение игры, предпочтение. Казалось бы, иначе анализ и не может вестись, однако нельзя забывать, что случайность по сути своей противоположна инварианту. И как раз вторая тема Цермелодала толчок к движению в направлении отказа от инвариантов: он в 1904 г. заявил, что многие теоремы можно доказать не иначе, как признав возможность выбрать из каждого бесконечного множества по одному элементу.

Это допущение является особой аксиомой, принятие или непринятие которой меняет суть многих теорий. Подробнее см. [Клайн, 1984; Медведев, 1982]. Выбор можно представлять себе и как происходящий по какому-то правилу, и как свободный, т.е. произвольный. Первый относится скорее к теории алгоритмов, а второй как раз и относится к нашей теме. Можно сказать, что ТВ (вместе с теорией устойчивых распределений неустойчивых частот) – та часть алеатики, где нет свободного выбора.

Произвольный выбор сразу же был использован теорией меры. Понятие линейной меры, призванное обобщить понятие длины на сколь угодно " рваные" подмножества множества точек отрезка, оказалось удобным для описания простой случайности и легло позже в основу ТВ. А именно, последовательность нулей и единиц можно представить себе и как запись серии бросаний монеты, и как некоторое число отрезка [0, 1]. Совокупность всех серий (континуум Кантора– см. п. 6-5) рассматривается тогда как эквивалент этого отрезка; т.е. единичная мера (длина отрезка) оказывается вероятностью полного события, состоящего в том, что наверняка реализуется хоть какая-то серия. С этой точки зрения можно, вместо процедуры бесконечных бросаний, изучать устройство множества действительных чисел. Идея эта, по-видимому принадлежащая Борелю, и породила ТВ в ее нынешнем понимании.

Если охватить мысленным взором все подмножества, на какие можно разбить отрезок, то подавляющая их часть будет выглядеть абсолютно случайными; с этой позиции идея Бореля(блестяще развитая в 1933 г. Колмогоровым) естественна. Более того, она подтверждена практикой: ТВ сносно описывает широкий круг явлений. Однако в ТВ нет произвольного выбора: как многими говорилось и не раз отмечено в части 1, каждое подмножество берется в расчетах ровно один раз. Это значит, что для описания свободного выбора математика должна выйти за рамки ТВ. В самом деле, если ввести произвольный выбор в теорию множеств, то среди подмножеств множества точек отрезка окажутся такие, что не имеют меры.

Пример этого дал в 1905 г. Джузеппе Витали. Замкнем единичный отрезок в окружность. Назовем две точки родственными, если расстояние между ними рационально, и чуждыми, если оно иррационально. Счетное множество всех точек, родственных данной, назовем семейством. Очевидно, что два семейства либо совпадают, либо не имеют общих точек. Вся совокупность точек окружности при этом – объединение несчетного множества семейств. Выберем из каждого семейства по одному представителю y. Множество { y } всех этих представителей будет неизмеримым – доказательство см. например в книге [Шилов, 1960, с. 148].

Увидеть, каким образом в этом примере рождается невероятностная случайность, легко. Рассмотрим действительное число z, образующее семейство, как точку, на которую указала, остановившись после долгого вращения, бесконечно тонкая стрелка, ось которой – в центре нашей окружности. Это – обычная вероятностная процедура, причем случайная величина z распределена равномерно на единичном отрезке. Чтобы получить произвольное число этого семейства, надо прибавить к z произвольное рациональное число m / n, т.е. выбрать произвольно пару натуральных m и n. Во всей совокупности актов выбора пар нет распределения вероятностей, т.е. акт выбора не имеет вероятности-меры. Дело в том, что ввиду произвольности выбора все y могут оказаться на любом (в том числе и сколь угодно малом) отрезке.

При вероятностном выборе это невозможно, поскольку там каждое подмножество рассматривается вместе с симметричными ему (по всем мыслимым типам симметрии) подмножествами; в этом, по сути, и состоит лежащий в основе ТВ принцип равновозможности. Т.е. добавление произвольного выбора к равновозможности уничтожило вероятность, понимаемую как меру.

В этом значение примера Виталидля алеатики: ведь предыдущие примеры демонстрировали только отсутствие вероятности-частоты, поскольку касались одних лишь устойчивых распределений, где вероятность-мера постулировалась (хоть и не равнялась, в силу бесконечности дисперсий, вероятности-частоте).