Поиск причин гиперболичности плотностей

Самое простое объяснение состоит в указании на положительную обратную связь, носящую, как известно, дестабилизирующий характер. Ее легко видеть, например, в ветвящемся процессе роста клона (cм. п. 4-7): чем выше численность, тем выше и скорость ее роста; То же самоускорение можно усмотреть и в социальных процессах, протекающих по принципу " успех порождает успех". Правда, сама по себе положительная связь порождает вовсе не гиперболические распределения, а экспоненциальные, т.е. устойчивые частоты, но эту трудность сумел обойти еще Гаролд Юл, когда в 1924 г. положил в основу своей модели сразу два взаимоуравновешивающих ветвящихся процесса – порождение видов и порождение родов (см. п. 9-4.1).

Как было сказано в п. 5-5, существуют выводы гиперболических распределений из допущения экстремальности энтропии, но рассуждения при этом, мягко говоря, нестроги, а исходные посылки авторов неясны. Единственным их оправданием служит, по-моему, то, что идеология их следует за Гауссом, который в 1809 г. вывел подобным образом нормальный закон из " принципа наибольшего правдоподобия" [Gauss, 1855, с. 10, 113-121]. Но если Гаусс указывал на сделанные им допущения и их нестрогость, то нынешние авторы, соблазнившись простотой примитивного экстремального метода, видимо полагают, что открыли объективную истину; хотя никто из них не может даже сказать (в отличие от Гаусса), максимум или минимум он искал. Подчас один и тот же вывод одними дается как поиск максимума, а другими – как поиск минимума энтропии.

Все эти работы сомнительны как математически, так и содержательно (в смысле соответствия модели объекту), однако были неизбежны в качестве обоснования перехода исследователей от статистической ПМ к системной. С переходом исследователей к диатропической ПМ (см. гл. 8) подобные модели, полагаю, либо улучшатся качественно, либо отпадут сами собой.

Один из подходов к гиперболичности, идущий от Дж. Ципфа, является психофизиологическим, т.е. специфическим для гуманитарных наук: " Природа, говорим мы, в основном гауссова, социум (человек) негауссов" [Хайтун, 1989, с. 111]. Природа имеется в виду неживая, тогда как " биологические системы, занимающие, по-видимому, в этом ряду промежуточное положение" [там же], остаются фактически без описания. При всей ограниченности, такой подход удобен тем, что дает оправдание всевозможным экстремальным приемам вроде " принципа наименьшего усилия" [Zipf, 1949], осмысленным только для сознательных объектов.

Нужен, однако, более общий подход, чем психофизиологический, – хотя бы потому, что гиперболические распределения в неживой природе встречаются, и отнюдь не как исключение. Должен ли подход к гиперболичности быть вероятностным? Многие считают, не приводя аргументов, что вероятностями тут пользоваться можно.

Так, С.Д. Хайтунуверен, что " все методы измерения в социальных исследованиях имеют одну – вероятностную – природу" и даже предлагает конкретный метод, основанный на теореме Гнеденко– Дёблина[Хайтун, 1989, с. 8; 109-110]. Но беда в том, что из центральной предельной теоремы ЗБЧ следует, а из теоремы Гнеденко– Дёблинане следует. Она всего лишь утверждает, что предельное распределение обладает некоторым (красивым) свойством суммируемости, но ничего не говорит о том, будет ли у этого распределения, к примеру, мат. ожидание. Нет его ни у распределения Коши, ни у гипербол при u< 1. А вероятность есть мат. ожидание частоты – читайте хотя бы Уиттла.

Завораживает неудачное слово " устойчивость". Лучше бы говорить – " инвариантность к свертке" (о свертках шла речь в п. 3-5), поскольку " устойчивые законы репродуцируют себя при свертках с точностью до линейной замены переменных" [Ламперти, 1973, c. 95] – вот и всё.

Надо понять, что устойчивость распределения имеет мало общего с устойчивостью движения: движение называется устойчивым, если малые возмущения мало меняют его траекторию; наоборот, малое изменение распределения хотя бы одного из слагаемых может привести к тому, что теорема Гнеденко– Дёблинапросто не будет иметь места. В то же время гауссово распределение действительно устойчиво в физическом смысле – к нему сходятся суммы (и не только суммы) самых разных, в том числе и неодинаково распределенных величин, что и делает его основой МС. Замечу для математиков: ЦПТ имеет как интегральную форму, так и локальную, аналога которой мы здесь не имеем и потому не можем рассчитывать на сходимость плотностей к гиперболам.

В вероятностной природе гиперболических распределений уверен и А.Е. Якимов[2000, c. 25]: для него негауссовы распределения " состоят из описания устойчивого распределения предельных сумм независимых случайных величин, если это распределение рассматривать снизу – от формирующих его дестабилизирующих факторов... Это всего лишь теория одного, весьма достойного и достаточно общего примера из теории вероятностей, когда рассматривается по оси абсцисс значение действующего на объект дестабилизирующего фактора, а по оси ординат – количество таких факторов, это спадающая зависимость, по количественным оценкам близкая к обратной степенной зависимости". (Далее автор излагает свою трактовку гауссоиды, чего касаться не будем.)

Здесь смешаны разные понятия – устойчивые распределения из ТВ (они никогда не бывают " спадающими", а всегда имеют максимум, как мы видели в п. 2) и эмпирические гиперболические распределения, которые никто прежде не объяснял через суммирование " дестабилизирующих факторов" (и Якимовдолжен бы дать своему взгляду объяснение).

После всего сказанного ясно, что надо заняться выяснением свойств распределений неустойчивых частот, не ограничиваясь устойчивыми распределениями.