Неясность исходных позиций теории вероятностей

В ТВ вопрос о природе вероятности не рассматривается: существование вероятностей вводится тут как некоторое априорное свойство изучаемых объектов. Правда, в предисловиях обычно говорится, что ТВ ограничивается такими явлениями, где имеет место устойчивость частот, но она тоже предполагается заданной и не обсуждается. Странно, но вопрос не обсуждается и в МС, хотя заданными тут считаются не вероятности, а именно эмпирические частоты – они тоже молчаливо предполагаются устойчивыми (даже если рассматриваются неограниченно растущие выборки). Принято считать: как бы ни велика была болтанка текущих частот, достаточное увеличение выборки позволит применить к ней аппарат МС. Это не так – не только в социальных науках, но даже в физике.

Касаясь процедуры первичного анализа опытных данных физики, математик В.Н. Тутубалин[1993] заявляет, что " в большинстве случаев эта процедура закончится печально: статистическая устойчивость будет отвергнута".

Неясно, каковы условия появления случайности в форме стохастичности, в явлениях какого типа ее следует ожидать, а в каких нет. Если в старых учебниках ТВ (Б.В. Гнеденко, В. Феллер) этот вопрос хотя бы обозначался во введениях, то затем он исчез вовсе. Вильям Феллер, прежде – соавтор книги [Cantelli e.a., 1939] по обоснованию ТВ, свел затем " анализ оснований" к реплике: " Философское рассмотрение основных понятий теории вероятностей должно быть отделено от математической теории и ее приложений в такой же мере, как рассмотрение наших интуитивных представлений о пространстве отделяется теперь от геометрии" [Феллер, 1964, c. 13]. Но если бы физики в самом деле отделяли интуитивные представления о пространстве от геометрии, было бы невозможно, например, построить теорию относительности.

ТВ часто именуют математикой случайного, но вот мнение Эдмунда Бёрна, не видевшего в ТВ ни случайности, ни даже вероятности: согласившись с более ранним тезисом Сервьена, что " так называемая теория вероятностей не имеет ничего общего с вероятностью и тем более со случайностью", он заключил, что в ТВ арифметические расчеты именуются вероятностными, " но это не более, чем этикет", что в действительности решаются задачи комбинаторики. Он имел в виду не только классическую ТВ, но и труды школы Бореля – Колмогорова [Byrne, 1968, c. 33, 12].

Ссылка Бёрнана комбинаторику опрометчива, ибо математик обычно не понимает (или делает вид, что не понимает) вопроса, и отсылает к изощренной теоретикомножественной интерпретации вероятности Колмогоровым(*). Весь пафос такой позиции сводится к тому, что аксиоматическая ТВ внутри себя безупречна, тогда как претензии тех, кто не видит в ней безупречной модели реальных событий, сумбурны и вообще к математике как таковой не относятся. Могу лишь ответить: да, сумбурны, но к математике относятся. Первые философские соображения великого Лейбницао вероятности (см. гл. 2) более чем сумбурны, и все же ТВ родилась именно из них.

Теория Бореля– Колмогорова, будучи блестящим обобщением комбинаторики на бесконечные (включая несчетные) множества элементарных событий, ни слова не говорит о связи вероятности как меры с вероятностью как частотой. (Есть в начале монографии [Колмогоров, 1998] небольшой параграф " Отношение к данным опыта", но автор сам отметил, что " дальнейшее изложение... не использует рассуждений этого параграфа". Да их в том виде и нельзя было использовать ввиду их расплывчатости. Он честно признал: «мы... сознательно оставляем в стороне глубокие философские изыскания о понятии вероятности в мире опыта», отсылок не дал, так что традиционные ссылки на этот труд как на философски обоснованнный странны.) Мы обсудим эту связь в главе 7. До этого нам придется исследовать в главе 4 феномен стохастичности по Колмогорову, казалось бы хорошо известный. Стохастичность оказывается далеко не самой беспорядочной случайностью.

В частности, наиболее интересные для теории эволюции случайности качественно более беспорядочны и не могут быть описаны никакими вероятностями (см. гл. 9). Надеюсь, что рано или поздно эти феномены привлекут внимание математиков.

Традиция различения случайности и вероятности не нова. Еще Куки, автор одной из немногих серьезных книг по проблеме случайности как таковой, писал в 1935 г.: " Для знания, исследующего только необходимость законов, норму ординарного мышления, или вероятность, [оказывается, что] случайность – всего лишь иррациональность, возбуждающая негодование с первого взгляда" [Kuki, 1966, c. 193].

Разумеется, проблема обоснования ТВ трудна. Считается, что ее решил в 1933 г. Колмогоров: " Поставив теорию вероятностей на... фундамент теории множеств и теории меры, Колмогороводним махом дал не только логически удовлетворительное обоснование теории вероятностей, но и включил ее в кровеносную систему современной математики" [Реньи, 1970, c. 83]. Эта точка зрения царит поныне и препятствует всяким попыткам реального обоснования ТВ, т.е. попыткам увязать частоту и вероятность. А ведь именно Колмогоровсумел для одного случая увязать меру с частотой. Об этой " случайности по Колмогорову" далее будет сказано.

Почему математики-вероятники, при всем почтении к Колмогорову, напрочь отказываются учитывать его результаты по обоснованию ТВ в своей работе? Вопрос явно не к ним, а к методологам, которых большинство математиков вообще не считает учеными. Не жалуют их даже те немногие в школе Колмогорова, кто занят алгоритмической случайностью.

Так, в одной из лучших работ на эту тему, живой и историчной, тем не менее читаем, что проблема возникновения случайности в эксперименте " не относится к математике и поэтому останется без комментариев". Это неверно – она не относится лишь к ТВ в ее узком понимании.

Закончена же статья и вовсе странно: " мы пытались рассказать о математических понятиях и утверждениях, относящихся к вопросу о причинах применимости математической теории вероятностей... Впрочем вопрос этот принадлежит скорее не математике, а философии науки – и, следовательно, им следует заниматься специалистам в этой области" [Шень, 1982, c. 16, 41]. Если так, то элементарная научная корректность требовала отослать читателя к соответствующим работам, чего, однако, никогда не делается (как не делалось и самим Колмогоровым).

Причины такого невнимания будут рассмотрены в главе 5, пока же повторю – вопросы алеатики приходится ныне ставить нематематикам. В этом я и вижу некоторое оправдание своей самонадеянной попытки предлагаемого в данной книге анализа проблем случайности.