Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Этот загадочный полет монеты
Если вы хотите бросить монету один раз, то никто не сможет предсказать, какой стороной она упадет, но если вы бросите ее 500 раз, то любой скажет: она упадет гербом приблизительно 250 раз, поскольку вероятность выпадения герба равна 1/2. А знающий математику даже объяснит, в каком смысле понимать слово " приблизительно". Однако почему так получается? Почему из непредсказуемых событий складывается предсказуемое? Где скрыта закономерность, не видимая ни в одном бросании, но видимая в их совокупности – в самой ли монете, в процедуре ли бросания или в свойствах больших чисел? Позже мы узнаем, что регулярность (устойчивость частот) складывается из всего вместе. Далее, обычно говорят, что непредсказуемость вызвана необозримой сложностью процесса полета монеты, но это неверно – ведь и колесо рулетки останавливается совершенно непредсказуемо, хотя движется очень просто. Непредсказуемость вызвана чем-то другим. Выяснение этих вопросов – основная тема части 1, пока же начнем с трех простых примеров. Первый – известная игра в орлянку. Я бросаю монету и, если она упала гербом вверх, плачу вам рубль, а если цифрой, платите вы. Пусть мы хотим сыграть 500 партий. Чтобы игра не прервалась из-за нехватки денег, каждому достаточно иметь небольшую сумму (расчет показывает: это примерно 20 рублей), ибо игра симметрична, а большие уклонения очень редки. Это – типично вероятностное рассуждение, и мало кто задумывается – почему редки эти уклонения и почему мы ими можем пренебречь. Второй пример. Если я, предложив кому-то сыграть в орлянку на крупную сумму, уроню на стол монету, не подбросив ее предварительно вверх, партнер запротестует – нет мол честной процедуры уравнивания шансов. Почему же нет? Ведь упав, монета подскочила и раз или два перевернулась. Пусть я не заметил числа оборотов и тем более не мог предугадать их, но, поскольку оборотов было мало, партнер подозревает, будто я что-то задумал. Ясно, что дело отнюдь не в дефиците случайности, а наоборот – в ее избытке: сравнительная простота траектории позволяет допустить, что я могу ею управлять, и строить различные предположения (вплоть до того, что я хочу оказать партнеру денежную помощь, не задев его самолюбие). Это – тоже вид случайности, но о вероятности здесь сказать нечего (подробнее см. п. 4-2). Словом, случайности бывают совсем разные, и нужен какой-то способ определять, с какой из них мы в данный момент имеем дело. Этим мы займемся позже. А пока изменим правила орлянки: будем суммировать исходы — если к данному моменту выпало больше гербов, чем цифр, то рубль плачу я, если наоборот, то вы; а если поровну, не платит никто. (Как в шахматном матче: если при счете 3: 1 партию выиграл второй игрок, то лидером остается первый.) В этом (третьем) примере игра осталась симметричной, однако без пятисот рублей играть в нее не садитесь — теперь значительная доля игр закончится почти полным или даже полным проигрышем одного из игроков. Точнее, в среднем в каждой пятой игре у одного из игроков останется не больше 12 рублей из пятисот, а в половине из таких игр проигрыш превысит 500 рублей. Но и в умеренных вариантах (один из них показан на обложке) один из игроков лидирует почти всё время. Дело в том, что в первом варианте игры исходы независимы, частота каждого исхода устойчива (гербы составляют около половины всех исходов), и можно говорить о вероятности выигрыша, к которой эта частота приближается. При суммировании всё сложнее: исходы связаны в случайную цепь, и если превышение гербов составляет на данный момент n очков, то следующие n–1 раз вы выиграете обязательно, а на n-й раз – с вероятностью 1 – 2—n. В итоге процесс игры является случайным блужданием по числовой прямой и оказывается весьма неустойчивым (подробнее см. п. 7-3.1).
|