Задание 11

В этом задании необходимо найти область сходимости степенного ряда.

Рассмотрим пример. .

Радиус сходимости степенного ряда вычислим по формуле

В нашем примере . Значит, .

Вычислим интервал сходимости из условия | x-x ₀|< R. В нашем случае | x -2|< 3; -3< x -2< 3; -1< x < 5. Следовательно, х Î (-1; 5) – интервал сходимости степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на границах интервала сходимости:

а) при х =-1 получаем ряд или . Это знакочередующийся ряд. Исследуем его сходимость по признаку Лейбница.

Первое условие признака Лейбница а_n> a_{n+ 1} выполняется, так как . Второе условие признака Лейбница тоже выполняется . Значит ряд сходится;

б) при х =5 получаем ряд или . Это ряд с положительными членами. По второму признаку сравнения этот ряд расходится. Значит [-1; 5) – область сходимости.

Ответ: х Î [-1; 5).

Примерные варианты контрольных работ