Задание 3. Рассмотрим пример. Изменить порядок интегрирования

Рассмотрим пример. Изменить порядок интегрирования

Решение. Изобразим область интегрирования D. Сначала необходимо указать линии, которыми эта область ограничена. Для этого «снимаем» функции с пределов интегрирования: у =0, у =1, х =3- у, х =1+Ö у. Построим каждую из линий (рис.1).

Поскольку в исходном повторном интеграле первый интеграл был по переменной у, а второй по переменной х, то наша задача сделать наоборот, т.е. получить интеграл вида Так как последний интеграл по переменной у, то луч должен пронизывать область интегрирования D снизу вверх (если последний интеграл будет по переменной х, то луч будет пронизывать область интегрирования D слева на право). В нашем случае луч входит снизу в область D через линию у =0, а выходить сверху луч может либо через линию х =1+Ö у, либо через линию х =3- у. В таких случаях необходимо область интегрирования D разбить на две части D₁ и D₂, а исходный интеграл тогда запишется в виде суммы двух повторных интегралов.

Найдем точку пересечения тех линий, через которые сверху выходит луч из области D, имеем: .

Значит область интегрирования D разобьем на две части линией х =2 (рис.2).

В области D₁ переменная х изменяется от 1 до 2, переменная у от линии у =0 до линии . Поскольку в интеграле по переменной у пределы интегрирования должны иметь вид у= j(х), то перепишем линию в виде у =(х -1)².

В области D₂ переменная х изменяется от 2 до 3, а переменная у от линии у =0 до линии х =3- у или у =3- х.

Следовательно,

.