Тема 11. Условия однозначности. Основы теории подобия

Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление в самом общем виде, т. е. описывает класс явлений теплопроводности. Чтобы рассмотреть данный конкретный процесс, следует дать дополни­тельное математическое описание конкретного процесса теплопроводно­сти, называемое условиями однозначности (единственности), которые включают в себя: 1) геометрическую форму и размеры тела, в котором протекает процесс: 2) граничные условия, характеризующие физическую связь тела с окружающей средой; 3) начальные условия распределения температур в начальный момент времени и условия протекания процесса вo времени; 4) физические свойства тела и окружающей среды, опре­деляемые физическими параметрами; 5) интенсивность и распределение внутренних источников тепла.

Совокупность начальных и граничных условий называют краевыми условиями. Начальные условия при нагреве (или охлаждении) тела ска­зываются только в начальный период, но по истечении некоторого вре­мени наступает регулярный режим, при котором распределение темпе­ратур в теле определяется только граничными условиями и не зависит от начальных. Граничные условия задаются соответственно способу нагрева (ох­лаждения), - т. е. воздействию окружающей среды на тело.

Каждый физический процесс мо­жет быть описан уравнениями математической физики. Анализ этих уравнений (чаще всего дифференциальных) позволяет установить, ка­кие факторы влияют на искомую величи­ну, т.е. отыскать общий вид уравнений.

Впервые понятие о подобии дается в геометрии. В случае подобия много­угольников (рис) каждая сторона одного многоугольника больше сходст­венной стороны другого многоугольника в определенное число раз. Это число на­зывают масштабом. Стороны измеряют линейными мерами. В подобии много­угольников можно убедиться и другим способом. Поместим один многоугольник в другой и будем их равномерно деформи­ровать. Если при этом фигуры полностью совпадут одна с другой, то они подобны. Можно использовать следующий прием для деформации. Разделим стороны каждого многоугольника на одну из сходственных сторон, т. е. выразим размер сторон в долях от сто­роны, выбранной в качестве масштаба. Тогда безразмерные стороны каждого многоугольника будут: для первого 1, а', b', с’,

d'... и для второго 1, а", b", с", d". Если при совмещении многоугольников с безразмер­ными сторонами они совпадут, то многоугольники подобны и тогда а'=а"; b'=b", с'=с" и т. д., т. е. безразмерные сходственные стороны подобных многоугольников равны.

Может быть подобие и физических процессов. Возьмем, например, явление теплопроводности через однородную плоскую стенку при стационарном процессе. Подобных стенок может быть множество: стенки зданий, стенки паровых котлов, печей и т. д. Материал их различен, раз­лична толщина δ, различен температурный перепад в стенке Δ t=t₁-t₂. Но теплопроводность всех стенок подчиняется одному и тому же закону Фурье (11-4):

Следовательно, природа явлений одна и та же, т. е. качественно они одинаковы..

Распределение температур (температурное поле) во всех стенках будет следовать закону прямой линии. Для любой точки:

(30)

или

(31).

Величина Ө х представляет собой безразмерную температуру для лю­бой точки. При х=0 Ө х=1, а при х=δ Ө х=0. Базразмерное темпе­ратурное поле Ө х=f(х/δ) одинаково для всех однородных плоских сте­нок и изображается одной и той же прямой.

Из этого вытекает, что процессы теплопроводности для всех одно­родных плоских стенок при стационарном тепловом режиме будут по­добны друг другу.

Рассмотренные процессы образуют группу, состоящую из бесчислен­ного множества подобных единичных процессов. Группы объединяются в классы.

Например, распространение тепла теплопроводностью в плоской стенке здания и в стальном слитке, нагреваемом в печи перед прокат­кой, — явления одного класса, в этом классе могут быть не две, а бес­численное множество конкретных групп.

Контрольные вопросы:

1. Из каких параметров состоит условие однозначности?

2. По каким критериям процессы объединяют в классы и группы?

3. Подобие физических процессов, смысл уподобления?

4. Какие условия лежат в основе теории подобия?

5. Какое уравнение называется уравнением подобия?

6. Выведите уравнение безразмерного температурного поля?

7. По какому закону изменяется температурное поле в плоской однослойной стенке?