Необходимое условие существования решения нелинейной оптимизации.

Задача нелинейной оптимизации в случае ограничений в виде неравенств.

Задача:

(1)

(2)

Построим функцию Лагранжа:

Необходимое условие существования решения нелинейной оптимизации.

Теорема. (Куна-Таккера)

Точка может являться оптимальным решением задачи нелинейной оптимизации (1), (2) только в том случае, если существуют такие множители , что в точке выполнены условия:

а) стационарности функции Лагранжа по x

; (3)

б) принадлежности ОДР , т.е.

;

в) условия дополняющей нежесткости

(4)

г) для задачи поиска максимума

(5)

для задачи поиска минимума

. (6)

Замечание. Условие (3) можно записать в виде

(7)

В зависимости от того, какие значения принимают множители уравнения системы (7) интерпретируются по-разному.

1) Если все , то (7) имеет вид

,

и определяет стационарную точку, которая может находиться в любой точке .

Следовательно, полученные стационарные точки следует проверить на принадлежность ОДР .

2) Если и при , т.е. отличен от нуля только один множитель. Тогда (3), (4) имеет вид

Граница называется активной, остальные – пассивными.

Пусть - множество активных границ.

Уравнение (9) означает, что поиск экстремума ведется вдоль к -ой активной границы и будет достигаться в тех точках, в которых

– условие (8).

3) Если несколько , то оптимальное решение ищется на пересечении нескольких активных границ – в угловых точках.

Замечания.

1) Если заданы ограничения ,

то их следует переписать в виде

2) Если заданы ограничения ,

то их следует переписать в виде .