Теорема Кронекера-Капелли. Система (7) имеет решение тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу системы:

Система (7) имеет решение тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу системы:

,

причём, если r=n, то система (4) имеет единственное решение,

если r< n, то система (4) имеет бесконечное множество решений.

Методом Гаусса среди n переменных можно выделить r базисных переменных и (n-r) свободных переменных, причём базисные переменные могут быть линейно выражены через свободные.

Предположим, что ранг матрицы равен числу уравнений (все условия линейно независимые):

.

Определение: Базисным (опорным) решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется решение, в котором все (n-m) свободные переменные равны нулю.

Оставшиеся m базисных переменных образуют базис.

Замечание. Выбор базисных и свободных переменных неоднозначен. Всего существует базисных решений.

Учтем условие неотрицательности переменных.

Определение: Допустимым базисным решением (ДБР) системы (7) называется решение, удовлетворяющее условию неотрицательности (3).