Магнитное поле постоянных токов

Цель. Изучить величины, характеризующие магнитное поле и методику расчета магнитного поля и индуктивностей.

9.1. Задание по самоподготовке

1. Изучить теорию магнитного поля постоянного тока по учебнику [1] § 14.2, 2.4, 2.5, [2] § 21.1…21.3, 21.6, 21.8.

5. Ознакомиться с методикой расчета магнитного поля постоянного тока, а также с методикой расчета индуктивности в примерах п. 9.3 данного пособия. Решить задачи из п.9.4.

1. Ответить на контрольные вопросы п. 9.5.

9.2. Методические указания

Основной величиной, характеризующей направление и интенсивность магнитного поля, является вектор магнитной индукции .

Связь между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля определяется выражением

,

где – относительная магнитная проницаемость;

– магнитная постоянная, = 1, 256 · 10^-6 Гн/м.

Магнитный поток есть поток сквозь поверхность S

Ф =

Магнитное поле вызывается электрическим током. Связь между напряженностью магнитного поля и током определяется законом полного тока:

.

Сила взаимодействия магнитного поля на проводник с током, помещенный в это поле, определяется законом Ампера:

.

Энергия магнитного поля

.

Индуктивность катушки

.

Энергия магнитного поля катушки

.

9.3. Примеры

9.3.1. Рассчитать магнитное поле в медной жиле, оболочке коаксиального кабеля и между ними, если в жиле и оболочке кабеля ток постоянный и равен 10А, радиусы R ₁ = 3 мм, R ₂ = 9 мм, R ₃ = 10 мм. Построить график зависимости напряженности магнитного поля от радиуса (рис. 9.1).

Рис. 9.1.

Решение

Магнитное поле кабеля обладает цилиндрической симметрией и зависит только от радиуса R. Основываясь на законе полного тока

при R < R ₁ получим , откуда

А/м.

При R = R ₁ , = 530 А/м.

При R ₁ < R < R ₂ напряженность

А/м.

При R = R ₂ , = 177 А/м.

При R > R ₂ контур интегрирования будет охватывать как ток жилы, так и частично ток оболочки, поэтому

,

откуда А/м.

При R = R ₃, =0, при R > R ₃ (вне кабеля) , поле отсутствует.

9.3.2. Определить индуктивность коаксиального медного кабеля с радиусом жилы R ₁ = 3 мм и радиусом оболочки R ₂ = 9 мм и R ₃ = 10 мм (рис. 9.1).

Решение

Индуктивность L кабеля можно и целесообразно определить из выражения энергии магнитного поля кабеля .

Энергия единицы длины кабеля

,

где V – объём на единицу длины кабеля.

Определим напряженность поля Н, применив закон полного тока.

При 0 < R < R ₁, получим ;

при R ₁ < R < R ₂, ;

при R ₂ < R < R ₃, .

Вне кабеля магнитное поле отсутствует.

Индуктивность кабеля на единицу длины

Первое слагаемое обусловлено магнитным полем внутри жилы, второе – полем между жилой и оболочкой, два последних – полем внутри оболочки.

9.3.3. На тороид, указанный на рис. 9.2, из ферромагнитного материала с нанесены равномерно две однослойные обмотки с числами витков w ₁ = 20 и w ₂ = 200. Определить собственную индуктивность каждой обмотки и взаимную индуктивность.

Рис. 9.2.

Решение

Напряженность поля в сердечнике

.

Элементарный поток через площадку находим по формуле:

.

.

Потокосцепление первой катушки

,

мГн.

мГн.

Взаимная индуктивность

9.3.4. При поражении молнией трубчатого молниеотвода труба оказалась сплющенной. Определить давление, действовавшее на стенки трубы при токе молнии кА в предположении, что ток протекает лишь в тонком поверхностном слое трубы (поверхностный эффект). Наружный радиус трубы см.

Решение

Так как ток сосредоточен на поверхности трубы, то магнитное поле существует только вне трубы. Если элемент поверхности трубы переместится на расстояние , то приращение энергии магнитного поля

,

где – энергия магнитного поля в единице объема.

Сила, действующая на элемент поверхности

.

Давление

Знак «минус» указывает на то, что сила стремится уменьшить радиус.

9.3.5. Определить силу взаимодействия двух проводов линии электропередачи постоянного тока А и А, если расстояние между проводами а = 0, 5 м, длина линии 100 м (рис. 9.3)

Рис. 9.3.

Решение

Со стороны магнитного поля, создаваемого током первого провода, действует механическая сила на второй провод с током . Эту силу определим из закона Ампера

, Н.

9.4. Задачи для самостоятельного решения

9.4.1. Провод с постоянным током А находится на оси стальной трубы. Радиус провода см. Внутренний радиус трубы см, внешний радиус см. Относительная магнитная проницаемость стали трубы при заданном токе .

Определить значения напряженности магнитного поля и значения магнитной индукции в точках см, 0, 4 см, 2 см, 4, 5 см, 6 см. Построить кривую . Изменятся ли найденные значения напряженности и магнитной индукции, если стальную трубу убрать.

Ответ. При наличии трубы Н = 7160 А/м; 14320 А/м; 2860 А/м; 1270 А/м; 955 А/м. В = 89 · 10^-4 Тл; 179 · 10^-4 Тл; 36 · 10^-4 Тл; 0, 32 Тл; 12 · 10^-4 Тл.

При отсутствии трубы изменится только значение индукции в стенке трубы при см, В = 16 · 10^-4 Тл.

9.4.2. Найти значение индукции магнитного поля двухпроводной линии с постоянным потоком А на расстоянии м от левого провода на оси, соединяющей центры проводов. Расстояние между проводами м, Гн/м.

Ответ: 125 · 10^-6 Тл.

9.4.3. Определить энергию магнитного поля, заключенную внутри стального провода с током А. Радиус провода см, длина

l = 100 м, .

Ответ: 25 Дж.

9.5. Контрольные вопросы

1. Как определяется напряженность магнитного поля?

2. Как находится магнитный поток?

3. Как рассчитывается энергия магнитного поля?

4. Как определяется индуктивность?

5. Как определяется взаимная индуктивность?