Электрическое поле постоянных токов

Цель. Изучить величины, характеризующие электрическое поле в проводящей среде, и методику расчета токов утечки через изоляцию в электрических устройствах.

8.1. Задание по самоподготовке

1. Изучить теорию электромагнитного поля постоянных токов по учебнику [2] § 20.1…20.5, 20.7, 20.9.

4. Ознакомиться с методикой расчета электрического поля в проводящей среде, а также с методикой расчета токов утечки через изоляцию п.8.2 настоящей главы пособия и в примерах п. 8.3. Решить задачи из п.8.4.

2. Ответить на контрольные вопросы п. 8.5.

8.2. Методические указания

Основной величиной в электрическом поле проводящей среды является плотность тока . Электрический ток – есть поток вектора плотности тока сквозь площадку:

.

Связь вектора плотности тока с вектором напряженности электрического поля определяется законом Ома в дифференциальной форме:

.

Мощность тепловых потерь в единице объема проводящей среды находится по закону Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:

.

Проводимость G между двумя телами, находящимися в проводящей среде с удельной проводимостью , может быть определена по формуле емкости С между этими телами, находящимися в среде из диэлектрика с абсолютной диэлектрической проницаемостью , путем замены С на G и на .

8.3. Примеры

8.3.1. Стальная пластина представляет собой 3/4 диска с концентрически вырезанным круглым отверстием. Внутренний радиус диска R ₁= 1 см, внешний R ₂ = 2 см. Толщина пластины h = 2 мм. К электродам 1 и 2 приложено напряжение U = 2 В. Удельная проводимость стали См/м. Определить наибольшую и наименьшую плотность тока и ток источника питания.

Рис. 8.1

Решение

Из условия симметрии линии вектора плотности тока и линии вектора напряженности электрического поля совпадают с концентрическими окружностями, проходящими по пластине.

, , , .

Следовательно, ,

А/м²; J_min А/м²;

;

А.

8.3.2. Водоподогреватель представляет собой металлический заземленный цилиндрический бак радиусом R ₁ = 0, 5 м и высотой l = 1 м. Дно и крышка бака выполнены из изолирующего материала. Бак имеет коаксиально расположенный электрод радиусом R ₂ = 0, 1 м. Водоподогреватель присоединен к однофазному трансформатору U = 220 В. Один полюс трансформатора заземлен. Удельную проводимость воды См/м считать не зависящей от температуры. Определить ток и мощность нагревателя. Построить график зависимости удельной активной мощности в функции расстояния от оси цилиндров (рис. 8.2).

Рис. 8.2.

Решение

Конструкция водонагревателя аналогична цилиндрическому конденсатору.

Емкость цилиндрического конденсатора , соответственно проводимость водонагревателя определим из выражения

См.

Ток А.

Мощность Вт.

Из условия симметрии плотность тока имеет только радиальную составляющую J , напряженность электрического поля .

Удельная активная мощность

Вт/м³,

м, Вт/м³.

м, Вт/м³.

8.3.3. Два параллельных цилиндрических провода проходят через мраморный щит, толщина которого равна а = 3 см, расстояние между осями отверстий для проводов d = 20 см, радиус провода R ₀ = 0, 2 см. Считая площадь щита неограниченно большой, найти ток утечки через мрамор между проводами, если напряжение U = 220 В, удельная проводимость мрамора См/м (рис. 8.3).

Рис. 8.3.

Решение

Рассматриваемая конструкция щита с двумя проводами аналогична конструкции двухпроводной линии, между проводами которой находится идеальный диэлектрик. Используя формулу емкости двухпроводной линии , найдем проводимость щита

См.

А.

8.3.4. Ток короткого замыкания 1000 А проходит через фундамент опоры, который можно рассматривать как полусферический заземлитель. Удельная проводимость земли 2 · 10^-2 См/м. Найти шаговое напряжение на расстоянии 5 м от центра опоры (длина шага 0, 8 м) (рис. 8.4).

Рис. 8.4.

Решение

Плотность тока имеет только радиальную составляющую , напряженность электрического поля .

Потенциал .

Шаговое напряжение

В.

8.4. Задачи для самостоятельного решения

8.4.1. К плоскому конденсатору, расстояние между обкладками которого d = 5 мм, а площадь каждой из них S = 50 см², подключено постоянное напряжение U = 500 В. Удельная проводимость диэлектрика См/м. Определить сопротивление изоляции, ток утечки и мощность тепловых потерь.

Ответ: 10¹⁰ Ом, 5 ∙ 10^-8 А, 25 ∙ 10^-6 Вт.

8.4.2. Изоляция коаксиального кабеля имеет удельную проводимость См/м. Радиус жилы 4 мм, внутренний радиус оболочки 8 мм. Напряжение между жилой и оболочкой 600 В. Определить проводимость, ток утечки и мощность тепловых потерь в изоляции кабеля на единицу длины.

Ответ: 9, 1 ∙ 10^-9 См/м; 5, 46 мкА/м; 3250 мкВт/м.

8.4.3. Определить радиус R ₀ полусферического заземлителя, погруженного в глинистую почву, если через него протекает ток 314 А, а максимальное шаговое напряжение не превышает 150 В. Шаг человека принять равным 0, 8 м. Удельная проводимость глинистой почвы См/м.

Ответ: R ₀ = 1, 93 м.

8.5. Контрольные вопросы

1. Как выражается ток через вектор плотности тока?

2. Как связаны между собой вектор плотности тока и вектор напряженности электрического поля?

3. Как определяется энергия, выделяющаяся в единицу времени в единице объема проводящей среды?

4. Как определяется проводимость между двумя электродами помещенными в проводящую среду?