Метод зеркальных изображений

При расчете электрического поля и вычислении ёмкости полезен вспомогательный прием, называемый методом зеркальных изображений зарядов. Этот метод основан на следующем положении: если в электрическом поле заменить какую-либо эквипотенциальную поверхность проводником той же формы и создать на нем потенциал, равный потенциалу рассматриваемой эквипотенциальной поверхности, то электрическое поле не измениться.

Применим это положение к электрическому полю двух точечных зарядов +q и –q, расположенных на расстоянии 2h друг от друга (рис.6). Рассматриваемое поле можно разделить плоскостью АА на две равные части. Эта плоскость будет везде перпендикулярна к линиям напряженности поля, а следовательно, будет эквипотенциальной поверхностью. Поскольку если в АА находиться неограниченная проводящая плоскость, то поле между этой плоскостью и зарядом +q не измениться и будет совпадать с полем двух точечных зарядов +q и –q. Это позволяет просто учесть действие индуцированных зарядов на проводящей плоскости.

Заряд –q расположен за плоскостью на том же расстоянии h, что и заряд +q над плоскостью, и потому является его зеркальным изображением в проводящей плоскости. Поэтому найденный результат можно сформулировать так: электрическое поле между точечным зарядом и бесконечной проводящей плоскостью совпадает с полем, создаваемым рассматриваемым зарядом и его зеркальным изображением в проводящей плоскости. Или, иначе: действие проводящей плоскости с ее индуцированными зарядами можно заменить действием точечного заряда, являющегося зеркальным изображением данного заряда в проводящей плоскости.

Применим рассмотренный метод к вычислению ёмкости цилиндрического провода с радиусом а, подвешенного на высоте h над землей. Такой случай мы имеем воздушной телефонной линии. Линии напряженности этого поля (в плоскости, перпендикулярной к проводу) будут изображаться так же, как и на рисунке 6. Поле в пространстве между проводом и землей будет совпадать с полем провода и его зеркального изображения, и поэтому задача сводиться к случаю двух параллельных проводов. Однако напряжение между поверхностью земли и проводом при этом же заряде провода будет равно только половине напряжения между двумя проводами, а, значит, емкость будет в два раза больше. Умножая на 2 соотношение для ёмкости двухпроводной линии и полагая в нем d=2h, получим выражение для ёмкости единицы длины проводника над землей в виде