Частные случаи векторных полей.

Векторное поле называется однородным (или постоянным), если .

Векторное поле называется плоским, если все векторы (M) параллельны некоторой плоскости П и одинаковы вдоль каждого перпендикуляра к П. Если система координат введена так, что П совпадает с плоскостью Оху, то, очевидно, (M) . Плоское поле достаточно рассматривать в пределах плоскости Оху, так как во всех плоскостях, параллельных Оху, оно одинаково. Для плоского поля , . Пример плоского поля - магнитное поле, создаваемое током I, текущим по бесконечно длинному проводнику. Если ось Oz направлена вдоль этого проводника, то вектор напряженности магнитного поля равен , это поле определено везде, кроме оси Oz.

Векторное поле называется центральным, если в каждой точке вектор (M) коллинеарен радиусу-вектору этой точки: (). Так как , , то для центрального поля , .

Векторное поле называется центрально-симметричным, если оно центрально, и функция u (M) зависит только от расстояния r, т.е. от длины радиуса-вектора точки М: (). Так как , , то для центрально-симметричного поля , .

Найдем вид центрально-симметричного поля, для которого дивергенция равна нулю (в дальнейшем мы будем называть такие поля соленоидальными): .

Таким образом, соленоидальны только те центрально-симметричные поля, в которых зависимость от r такая же, как в законах Кулона и всемирного тяготения. В связи с этим встают мировоззренческие вопросы о том, вычислял ли Господь Бог дивергенцию, когда создавал Вселенную, и о связи показателя степени в знаменателях законов Кулона и всемирного тяготения с пространственной размерностью мира, в котором мы живём

17.2.4. Векторные линии. Так как вектор (M) определяется длиной и направлением в пространстве, задание в области V поля (M) равносильно заданию в V полей длин и направлений. Геометрической характеристикой, определяющей в V поле направлений, служит совокупность векторных линий.

Определение. Векторной линией поля (M) называется любая линия, которая в каждой своей точке М касается вектора (M).

В силовой интерпретации поля векторными линиями являются силовые линии поля, в гидродинамической - векторные линии есть траектории, по которым движутся частицы жидкости (линии тока).

Получим дифференциальные уравнения векторных линий в декартовой системе координат. Пусть векторная линия определяется векторным уравнением . Тогда касательный вектор к этой линии в любой точке должен быть коллинеарен полю, т.е.

.

Эта записанная в симметричной форме система из трёх уравнений первого порядка и определяет векторные линии. Так как функции P, Q, R одновременно не обращаются в нуль, то в любой точке одна из них отлична от нуля. Пусть, например, в точке . Тогда систему можно записать в виде . Функции P, Q, R непрерывно дифференцируемы, поэтому для последней системы выполняются условия теоремы существования и единственности задачи Коши с начальными условиями . Следовательно, через точку М ₀ проходит, и при том единственная, интегральная кривая системы, которая и будет векторной линией поля.

Пусть, например, поле . Тогда векторные линии определяются системой . Решая уравнение , получим y = C ₁ x, из уравнения получаем , таким образом, уравнения векторных линий

Пусть L - некоторая кривая в области V, не являющаяся векторной линией. Проведём через каждую точку L векторную линию; получившаяся в результате поверхность называется векторной поверхностью. Если L - замкнутая линия, то поверхность называется векторной трубкой. Основное свойство векторной трубки: векторная линия, вошедшая в трубку через поперечное сечение , может выйти из неё только через другое сечение . Действительно, если бы векторная линия пересекла боковую поверхность векторной трубки, то через точку пересечения проходило бы две векторные линии, что, как мы установили, невозможно.

17.3.Поток векторного поля через поверхность.

В разделе 16.4. Поверхностные интегралы мы рассмотрели задачу о вычислении количества жидкости, протекающей через определённую сторону двусторонней поверхности за единицу времени, и получили, что это количество выражается поверхностным интегралом . Имеется целый ряд физических процессов, которые описываются аналогичными поверхностными интегралами, например, магнитная индукция.

Среди других достоинств математики её мощь заключается, в частности, в способности исследовать процессы в самых разных областях естествознания, абстрагируясь от их физической сущности; приведённые выше примеры показывают естественность введения понятия потока векторного поля через поверхность.

17.3.1. Определение. Пусть - двусторонняя гладкая поверхность, расположенная в области V, в которой задано поле (M). Фиксируем выбором нормали одну из двух сторон поверхности . Потоком векторного поля (M) через поверхность называется поверхностный интеграл первого рода по от скалярного произведения (M) на единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности: П .

Существуют различные формы записи этого интеграла. Так как , поток может обозначаться П . Иногда произведение обозначают и называют этот вектор вектором элементарной площадки, тогда П . Если связать с проекциями на координатные плоскости:

и использовать координатную запись поля , то скалярное произведение в координатной форме даст П , т.е. поток может быть выражен и через поверхностный интеграл второго рода. Напомню, что в таком интеграле необходимо выбирать знак каждого слагаемого в зависимости от знака соответствующей координаты нормали.

17.3.2. Свойства потока векторного поля. Согласно определению, поток - поверхностный интеграл, поэтому он имеет все свойства поверхностного интеграла. Понятно, что некоторые из этих свойств теряют смысл (интеграл от единичной функции, например), поэтому перечислим основные свойства потока.

1. Линейность. ;

2. Аддитивность. . Здесь и - кусочно-гладкие поверхности, которые могут пересекаться только по границам; нормали на этих поверхностях должны быть согласованы так, чтобы определять одну сторону всей составной поверхности .

3. Поток меняет знак при изменении стороны поверхности (так как в каждой точке вектор меняется на - ).

17.3.3. Вычисление потока векторного поля. В соответствии с определением П ,

поток может вычисляться и с помощью поверхностного интеграла первого рода, и с помощью поверхностного интеграла второго рода. В примере 2 раздела 16.4.4.3. Вычисление поверхностного интеграла второго рода было приведено вычисление потока поля через часть плоскости , ограниченную координатными плоскостями, в том и другом представлении. Рассмотрим более сложный пример.

Пример. Найти поток векторного поля через полную внешнюю поверхность тела, ограниченного поверхностями .

Решение. Поверхность состоит из двух частей: - часть поверхности параболоида накрытая шапочкой - частью нижней полусферы ; уровень пересечения этих поверхностей по оси Oz определяется уравнением , откуда ; проекция линии пересечения на плоскость Oxy - окружность радиуса . Выпишем нормали: ; выбираем знак " +", так как на нормаль образует тупой угол с осью Oz, и коэффициент при должен быть отрицателен (мы находимся в полупространстве ). С учётом того, что на , , . Уравнение в виде поверхности уровня: , , знак " +", так как угол между и осью Oz острый, .

1. Вычисление с помощью поверхностного интеграла первого рода: П=П₁+П₂, П₁ , П₂ , обе поверхности однозначно проектируются на плоскость Oxy в круг радиуса , поэтому П₁ .

П₂

.

П=П₁+П_{2 .}

2. Посмотрим, к каким вычислениям приводит применение поверхностного интеграла второго рода. . Для вычисления придется разбить полную поверхность на части , находящуюся в полупространстве , где , и , находящуюся в полупространстве , где ; (с учётом того, что подынтегральная функция меняет знак при переходе от к ) .

Интеграл равен нулю, так как подынтегральная функция чётна по у, а интегралы по частям поверхности, находящихся в полупространствах , где , и , где , берутся с разными знаками.

Интеграл (в соответствии со знаками на и ) . Поток .

Ответы, как и должно быть, совпали, однако вычисления с помощью криволинейного интеграла первого рода оказались существенно более простыми.

17.3.4. Теорема Остроградского. Пусть - кусочно-гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая область V, - гладкое векторное поле. Тогда поток поля через внешнюю сторону равен тройному интегралу от дивергенции поля по V:

.

Приведённую выше формулу обычно называют формулой Остроградского в векторной форме. Если записать её в виде или , то получим формулу Остроградского в координатной форме. Естественно, для потока в левой части формулы могут применяться и другие обозначения.

Доказательство. Достаточно доказать формулу в случае, когда тело V - простое, т.е. проекция V на любую координатную плоскость - простая область D, и любая прямая, перпендикулярная этой плоскости и проходящая через внутреннюю точку V, пересекает границу V в двух точках. Если V не является простой областью, мы разобьём её на простые части; тогда сумма тройных интегралов по этим частям, в силу аддитивности, даст интеграл по всей области V; а при вычислении поверхностных интегралов интегралы по введённым внутренним перегородкам будут браться дважды с противоположными направлениями нормали и взаимно уничтожатся. Кроме того, достаточно доказать формулу Остроградского для каждого из слагаемых: , , , тогда сумма этих формул даст общую формулу. Докажем, например, что . Простую область V, как мы знаем, можно описать следующим образом: . Вычисляем : . Знак последнего слагаемого выбран с учётом того, что на . Если в полной границе области V присутствует цилиндрическая составляющая , то , поэтому окончательно . Совершенно аналогично доказываются формулы для двух других слагаемых. Формула Остроградского доказана.

Применим формулу Остроградского для решения задачи, рассмотренной в предыдущем разделе: найти поток векторного поля через полную внешнюю поверхность тела, ограниченного поверхностями : ,

. Естественно, ответ получился тот же; но этот способ вычисления оказался самым простым.

17.3.5. Инвариантное определение дивергенции. В разделе 17.2.2.1. Дивергенция векторного поля мы определили дивергенцию как выражение в определённой системе координат: . Теорема Остроградского позволяет понять смысл дивергенции поля в точке М как объективного атрибута векторного поля без использования координатной системы. Пусть - замкнутая поверхность, окружающая точку М, V - тело, заключенное внутри , - вектор единичной внешней нормали к . Тогда . По теореме о среднем для тройного интеграла существует точка такая, что . Следовательно, . Отношение значения некоторой физической величины к объёму принято называть средней плотностью этой величины в объёме; если объём стягивается к точке М, предел средней плотности называется локальным значением плотности в точке М. Таким образом, мы можем трактовать как среднюю плотность потока в объёме V. Будем теперь стягивать к точке М, при этом и V стягивается к точке М; , и, вследствие непрерывности , . Поэтому будет равна плотности потока в точке М, и так как плотность потока определяется независимо от выбора какой-либо системы координат, то дивергенция векторного поля инвариантна относительно выбора координатной системы.

Используем теперь гидродинамическую интерпретацию поля для выяснения физического смысла дивергенции. Пусть (M) - стационарное поле скоростей несжимаемой жидкости. В каком случае поток через замкнутую поверхность может быть отличен от нуля, т.е. в каком случае из V вытекает больше жидкости, чем втекает (при П> 0) или наоборот (при П< 0)? Ясно, что П> 0 может быть только в том случае, если в V появляется дополнительная жидкость, т.е. в V имеются источники поля. П< 0 может быть только в том случае, если в V исчезает часть жидкости, т.е. в V имеются стоки поля. Поэтому как плотность потока в точке М определяет силу источника (при > 0) или стока (при < 0) в точке М.

По аналогии с полем скоростей жидкости считают, что дивергенция определяет силу источников и стоков поля в любом поле (M).