II. Механические приложения.

1) Масса пластинки (тела).

Пусть . В определена функция - плотность (поверхностная или объемная), т.е. - материальное тело.

●

Пусть :

- масса .

Положим по df:

.

Тогда:

, n=2 - пластинка.

, n=3 – тело.

2) Статические моменты. Центр масс.

Df.1 Статическим моментом точки относительно координатной оси (или, соответственно, координатной плоскости) называется произведение массы точки на расстояние ее до этой оси (или, соответственно, плоскости).

- статический момент относительно оси OX, .

По df. будем иметь:

.

Аналогично относительно оси OY:

.

Df.2 Точка называется центром масс . Тогда , .

Аналогично для тела .

- статический момент относительно плоскости OXY.

- статический момент относительно плоскости OYZ.

- статический момент относительно плоскости OXZ.

Тогда координаты центра масс:

.

3) Моменты инерции.

Df.3 Моментом инерции точки относительно оси называется произведение массы точки на квадрат ее расстояния до этой оси.

Пластинка .

- момент инерции относительно оси OX по df. полагаем:

.

Аналогично относительно оси OY:

.

Момент инерции относительно точки (центральный, полярный).

Полярным моментом инерции точки называется произведение массы точки на квадрат расстояния ее от начала координат.

Аналогично для тела .

Моменты инерции относительно координатных плоскостей.

Моменты инерции относительно координатных осей:

- полярный (центральный) момент инерции .