Уравнение энергии для стационарного одномерного адиабатического движения химически реагирующей термодинамически равновесной смеси идеальных газов

Вариант 1

Модель термодинамически равновесной смеси идеальных газов можно использовать, когда характерные времена изменения макроскопического состояния среды много больше времени установления равновесного статистического распределения. Тогда все компоненты смеси, каждый из которых представляет собой совершенный газ, имеют одну и ту же температуру.

Уравнение состояния такой смеси можно записать в виде:

где c [моль/м³] – мольная «плотность» смеси, являющаяся суммой мольных плотностей компонент:

где NC – количество компонент смеси.

Когда идут химические реакции, то, поскольку меняется состав смеси, вообще говоря, меняются молекулярный вес смеси, теплоемкость и показатель адиабаты, в то время как молекулярные веса, теплоемкости и показатели адиабаты компонент смеси - постоянны. Рассмотрим, каким образом параметры смеси связаны с параметрами отдельных компонент.

Поскольку массовая и мольная плотности связаны через молекулярную массу: r=mc; r_i=m_ic_i; а плотность смеси есть сумма плотностей компонент, то:

Тогда молекулярная масса смеси:

Объемная теплоемкость смеси (C_pc [Дж/м³К]) есть сумма объемных теплоемкостей компонент:

Тогда мольная теплоемкость смеси:

Аналогичное соотношение имеет место и для теплоемкости при постоянном давлении. В этом параграфе обозначение C_p, C_v используется для мольных теплоемкостей, C_pm, C_vm – для массовых.

Основа уравнения энергии – первый закон термодинамики, который для адиабатического процесса можно выразить следующим образом:

где dU – изменение внутренней энергии тела, dK – изменение кинетической энергии макроскопического движения тела, dA – работа внешних сил, совершаемая над телом. В качестве рабочего тела рассмотрим элемент среды, который в момент времени «t» занимает участок канала в промежутке между «x» и «x+dx»:

Рис. 1

Работа внешних сил: dA=PFudt-(P+dP)(F+dF)(u+du)dt, или, с точностью до членов второго порядка малости,

Здесь использован закон сохранения массы:

Внутренняя энергия выделенного тела – это в данном случае сумма энергии хаотического теплового движения молекул (тепловой энергии) и энтальпии образования h⁰ (иначе говоря, энергии, затраченной на создание молекул данного вещества из простых веществ, энтальпия образования которых считается равной нулю). Поскольку мы рассматриваем движение среды в сочетании с химическими преобразованиями, то энтальпия образования должна быть учтена в составе внутренней энергии. Когда рассматривается движение среды без химических преобразований, энтальпия образования не высвобождается, поэтому соответствующая часть внутренней энергии может не учитываться. Итак:

Здесь C_vmT+h⁰_m – внутренняя энергия единицы массы смеси, C_vm – массовая теплоемкость смеси при постоянном объеме, h⁰_m – энтальпия образования единицы массы смеси. С точностью до членов второго порядка малости:

Изменение кинетической энергии выделенного тела:

Подставляем:

Из уравнения состояния смеси: P=rRT (R=R₀/m - индивидуальная газовая постоянная, m - молекулярная масса смеси): P/r=RT=(C_pm-C_vm)T. Подставляем:

Необходимо обратить внимание на разницу между пространственными и временн ы ми производными. Поскольку рассматривается стационарное одномерное течение, то имеется всего одна независимая переменная – пространственная координата «x», отсчитываемая по направлению движения среды. Когда встречается запись типа d(*) – это означает дифференциал какой-либо величины, соответствующий бесконечно малому изменению этой независимой переменной – «dx».

В то же время выделенное физическое тело движется, и его параметры меняются во времени. Соответствующая временн а я производная является субстанциональной, то есть берется в системе координат, связанной с движущейся средой, и, вообще говоря, не равна нулю в стационарном потоке. В отличие от нее частная производная по времени, которая берется при постоянном значении пространственной координаты «x», везде равна нулю в силу предположения о стационарности потока.

Когда отсутствуют химические превращения, состав смеси не меняется в процессе движения, и энтальпия образования единицы массы смеси постоянна. Поэтому последнее уравнение упрощается:

В этом случае и теплоемкость также постоянна, поэтому:

Получаем уравнение энергии нереагирующего совершенного газа в адиабатическом движении, выражающее факт сохранения полной энтальпии H_m=C_pmT+u²/2.

В случае, когда имеют место химические превращения, понятие полной энтальпии необходимо обобщить, включив в нее энтальпию образования: H_m=C_pmT+h⁰_m+u²/2. Сам принцип сохранения полной энтальпии остается неизменным.

Теперь вернемся к обобщенному закону сохранения полной энтальпии (?) и разберемся, как связаны параметры смеси: массовая теплоемкость C_pm и энтальпия образования h⁰_m с изменяющимся составом смеси. Это необходимо сделать, поскольку неизвестные, относительно которых желательно записать окончательные уравнения – это P, T, u, а также параметры, характеризующие состав смеси. Состав смеси удобно описывать мольными плотностями компонент {c_i}. Это так, поскольку изменение состава смеси в процессе химических превращений, которое необходимо будет также каким-то образом включить в окончательные уравнения, удобнее всего описывается в терминах именно мольных плотностей. Итак, необходимо выразить C_pm и h⁰_m через мольные плотности {c_i} и параметры компонент смеси – молекулярные веса и теплоемкости. Итак, во-первых, выразим производную от массовой теплоемкости через производные от мольных плотностей компонент смеси:

Мольная теплоемкость смеси:

Аналогично, молекулярная масса смеси:

Подставляя в (%), получаем выражение для производной от массовой теплоемкости:

Теперь проделаем то же самое с энтальпией образования:

Мольная энтальпия образования смеси:

Подставляя это выражение в предыдущее, и, кроме того, используя ранее выведенное выражение для дифференциала молекулярной массы смеси (?), получаем:

Теперь напомним уравнение энергии для стационарного потока химически реагирующей смеси (?):

Подставим в это уравнение выражения, полученные для dC_pm и dh⁰_m. Получится:

Это и есть искомое уравнение энергии для химически реагирующей смеси идеальных газов. Оно связывает пространственные производные от следующих неизвестных: мольные плотности {c_i}, температура T и скорость u.